Действия со степенями и корнями

Свойства степени с натуральным показателем

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

.

Например, .

5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

.

Например, .

Пример 1. Найти значение выражения

.

Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

(степень произведения равна произведению степеней множителей),

(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

Теперь получим:

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Степень с целым и дробным показателем

Имеют место следующие тождества:

1) ;

2) ;

3) .

Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти значение выражения

.

Пример 3. Найти значение выражения

.

Преобразования арифметических корней

1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).

2. Если , то (правило извлечения корня из дроби).

3. Если , то (правило извлечения корня из корня).

4. Если , то (правило возведения корня в степень).

5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.

6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:

(правило умножения корней),

(правило деления корней),

.

8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

9. Обратная задача — внесение множителя под знак корня.

Правило умножение степеней с разными основаниями

Например,

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.

а) , так как .

Например, .

б)

Например,

в)

и т. д.

11. Применение тождеств сокращённого умножения к действиям с арифметическими корнями:

1) ;

2) ;

3)

К началу страницы

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Действия с дробями

Решение квадратных уравнений

Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение

Действия со степенями и корнями

Свойства степени с натуральным показателем

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

.

Например, .

5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

.

Например, .

Пример 1. Найти значение выражения

.

Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

(степень произведения равна произведению степеней множителей),

(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

Теперь получим:

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Степень с целым и дробным показателем

Имеют место следующие тождества:

1) ;

2) ;

3) .

Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти значение выражения

.

Пример 3. Найти значение выражения

.

Преобразования арифметических корней

1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).

Что делать со степенями при сложении и вычитании числа?

Если , то (правило извлечения корня из дроби).

3. Если , то (правило извлечения корня из корня).

4. Если , то (правило возведения корня в степень).

5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.

6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:

(правило умножения корней),

(правило деления корней),

.

8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

9. Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.

а) , так как .

Например, .

б)

Например,

в)

и т. д.

11. Применение тождеств сокращённого умножения к действиям с арифметическими корнями:

1) ;

2) ;

3)

К началу страницы

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Действия с дробями

Решение квадратных уравнений

Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение

Действия со степенями и корнями

Свойства степени с натуральным показателем

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

.

Например, .

5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

.

Например, .

Пример 1. Найти значение выражения

.

Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

(степень произведения равна произведению степеней множителей),

(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

Теперь получим:

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Степень с целым и дробным показателем

Имеют место следующие тождества:

1) ;

2) ;

3) .

Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти значение выражения

.

Пример 3. Найти значение выражения

.

Преобразования арифметических корней

1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).

2. Если , то (правило извлечения корня из дроби).

3. Если , то (правило извлечения корня из корня).

Алгебра – 7 класс. Умножение и деление степеней

Если , то (правило возведения корня в степень).

5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.

6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:

(правило умножения корней),

(правило деления корней),

.

8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

9. Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.

а) , так как .

Например, .

б)

Например,

в)

и т. д.

11. Применение тождеств сокращённого умножения к действиям с арифметическими корнями:

1) ;

2) ;

3)

К началу страницы

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Действия с дробями

Решение квадратных уравнений

Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение

Действия со степенями и корнями

Свойства степени с натуральным показателем

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

.

Например, .

5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

.

Например, .

Пример 1. Найти значение выражения

.

Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

(степень произведения равна произведению степеней множителей),

(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

Теперь получим:

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Степень с целым и дробным показателем

Имеют место следующие тождества:

1) ;

2) ;

3) .

Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти значение выражения

.

Пример 3. Найти значение выражения

.

Преобразования арифметических корней

1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).

2. Если , то (правило извлечения корня из дроби).

3. Если , то (правило извлечения корня из корня).

Как умножить степени с разными основаниями и показателями?

Если , то (правило возведения корня в степень).

5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.

6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:

(правило умножения корней),

(правило деления корней),

.

8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

9. Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.

а) , так как .

Например, .

б)

Например,

в)

и т. д.

11. Применение тождеств сокращённого умножения к действиям с арифметическими корнями:

1) ;

2) ;

3)

К началу страницы

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Действия с дробями

Решение квадратных уравнений

Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение

Действия со степенями и корнями

Свойства степени с натуральным показателем

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

.

Например, .

5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

.

Например, .

Пример 1. Найти значение выражения

.

Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

(степень произведения равна произведению степеней множителей),

(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

Теперь получим:

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Степень с целым и дробным показателем

Имеют место следующие тождества:

1) ;

2) ;

3) .

Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти значение выражения

.

Пример 3. Найти значение выражения

.

Преобразования арифметических корней

1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).

2. Если , то (правило извлечения корня из дроби).

3. Если , то (правило извлечения корня из корня).

4. Если , то (правило возведения корня в степень).

5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.

6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:

(правило умножения корней),

(правило деления корней),

.

8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

Свойства степени

Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.

а) , так как .

Например, .

б)

Например,

в)

и т. д.

11. Применение тождеств сокращённого умножения к действиям с арифметическими корнями:

1) ;

2) ;

3)

К началу страницы

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Действия с дробями

Решение квадратных уравнений

Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение

Степень с натуральным показателем и её свойства

Степень с натуральным показателем и ее свойства.

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:

an = 

В выражении an :

—  число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени

—  число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени

Например:
25 = 2·2·2·2·2 = 32,
здесь:
2   – основание степени,
5   – показатель степени,
32 – значение степени

Отметим, что основание степени может быть любым числом.

Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).

Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 · 108

Каждое число большее 10 можно записать в виде: а · 10n , где 1 < a < 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа.

Например:  4578 = 4,578 · 103 ;

103000 = 1,03 · 105.

Свойства степени с натуральным показателем:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются

am · an = am + n

например:  71.7 · 7 — 0.9 = 71.7+( — 0.9) = 71.7 — 0.9 =  70.8

Как умножать и делить степени? Что делают при умножении и делении степеней?

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются

am / an = am — n ,

где,  m > n,

a ? 0

например: 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 -0.2) = 133.6

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.

(am )n = a m ·  n

например: (23)2 = 2 3·2 = 26

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

(a · b)n = an · b m ,

например:(2·3)3 = 2n · 3 m ,

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель

(a / b)n = an / bn

например: (2 / 5)3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 23 / 53