Решите уравнение со степенями

Показательные уравнения – это уравнения вида

где

x -неизвестный показатель степени,

a и b– некоторые числа.

Примеры показательного уравнения:

А уравнения:

уже не будут являться показательными.

 

Рассмотрим примеры решения показательных уравнений:

Пример 1.
Найдите корень уравнения:

Приведем степени к одинаковому основанию, чтобы воспользоваться свойством степени с действительным показателем

 

Тогда можно будет убрать основание степени и перейти к равенству показателей.

Преобразуем левую часть уравнения:

Далее используем свойство степени 


Преобразуем правую часть уравнения:

Используем свойство степени 


Ответ: 4,5.

Пример 2.
Решите неравенство:

Разделим обе части уравнения на 

Замена:

Обратная замена:

Число обращается в 1, если его показатель равен 0

Ответ: x=0.

 

Пример 3.

Решите уравнение и найдите корни на заданном промежутке:

Приводим все слагаемые к одинаковому основанию:

Замена:

Ищем корни уравнения, путём подбора кратных свободному члену:

 – подходит, т.к. равенство выполняется.
 – подходит, т.к. равенство выполняется.
– подходит, т.к. равенство выполняется.
– не подходит, т.к. равенство не выполняется.

Обратная замена:

1) 

Число обращается в 1, если его показатель равен 0

2)

Не подходит, т.к. 

3)

Логарифмируем обе части по основанию 2:

Правая часть равна 1, т.к.

Показатель степени встаёт перед выражение, т.к. 

Отсюда:

Пример 4.

Решение показательных уравнений

Решите уравнение:

Замена: , тогда

Обратная замена:

1 уравнение:

если основания чисел равны, то их показатели будут равны, то

2 уравнение:

Логарифмируем обе части по основанию 2:

Показатель степени встаёт перед выражение, т.к. 

Левая часть равна 2x, т.к. 

Отсюда:

 

Пример 5.

Решите уравнение:

Преобразуем левую часть:

Перемножаем степени по формуле: 

Упростим:  по формуле: 

Представим  в виде :

Замена:

Переведём дробь в неправильную:

Вычисляем корень из дискриминанта:

a2 -не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения

Обратная замена:

Приводим к общему основанию:

Если 

Ответ: x=20.

Пример 6.

Решите уравнение:

О.Д.З.

Преобразуем левую часть по формуле: 

Замена:

Вычисляем корень из дискриминанта:

a2-не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения

Приводим к общему основанию:

Если 

Возводим в квадрат обе части:

Ответ: x=9.

Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич

Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна

Вернутся к темам

Показательные уравнения – это уравнения вида

где

x -неизвестный показатель степени,

a и b– некоторые числа.

Примеры показательного уравнения:

А уравнения:

уже не будут являться показательными.

 

Рассмотрим примеры решения показательных уравнений:

Пример 1.
Найдите корень уравнения:

Приведем степени к одинаковому основанию, чтобы воспользоваться свойством степени с действительным показателем

 

Тогда можно будет убрать основание степени и перейти к равенству показателей.

Преобразуем левую часть уравнения:

Далее используем свойство степени 


Преобразуем правую часть уравнения:

Используем свойство степени 


Ответ: 4,5.

Пример 2.
Решите неравенство:

Разделим обе части уравнения на 

Замена:

Обратная замена:

Число обращается в 1, если его показатель равен 0

Ответ: x=0.

 

Пример 3.

Решите уравнение и найдите корни на заданном промежутке:

Приводим все слагаемые к одинаковому основанию:

Замена:

Ищем корни уравнения, путём подбора кратных свободному члену:

 – подходит, т.к.

равенство выполняется.
 – подходит, т.к. равенство выполняется.
– подходит, т.к. равенство выполняется.
– не подходит, т.к. равенство не выполняется.

Обратная замена:

1) 

Число обращается в 1, если его показатель равен 0

2)

Не подходит, т.к. 

3)

Логарифмируем обе части по основанию 2:

Правая часть равна 1, т.к.

Показатель степени встаёт перед выражение, т.к. 

Отсюда:

Пример 4.

Решите уравнение:

Замена: , тогда

Обратная замена:

1 уравнение:

если основания чисел равны, то их показатели будут равны, то

2 уравнение:

Логарифмируем обе части по основанию 2:

Показатель степени встаёт перед выражение, т.к. 

Левая часть равна 2x, т.к. 

Отсюда:

 

Пример 5.

Что такое показательное уравнение и как его решать

Решите уравнение:

Преобразуем левую часть:

Перемножаем степени по формуле: 

Упростим:  по формуле: 

Представим  в виде :

Замена:

Переведём дробь в неправильную:

Вычисляем корень из дискриминанта:

a2 -не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения

Обратная замена:

Приводим к общему основанию:

Если 

Ответ: x=20.

Пример 6.

Решите уравнение:

О.Д.З.

Преобразуем левую часть по формуле: 

Замена:

Вычисляем корень из дискриминанта:

a2-не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения

Приводим к общему основанию:

Если 

Возводим в квадрат обе части:

Ответ: x=9.

Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич

Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна

Вернутся к темам

Показательные уравнения – это уравнения вида

где

x -неизвестный показатель степени,

a и b– некоторые числа.

Решение задач по математике онлайн

Примеры показательного уравнения:

А уравнения:

уже не будут являться показательными.

 

Рассмотрим примеры решения показательных уравнений:

Пример 1.
Найдите корень уравнения:

Приведем степени к одинаковому основанию, чтобы воспользоваться свойством степени с действительным показателем

 

Тогда можно будет убрать основание степени и перейти к равенству показателей.

Преобразуем левую часть уравнения:

Далее используем свойство степени 


Преобразуем правую часть уравнения:

Используем свойство степени 


Ответ: 4,5.

Пример 2.
Решите неравенство:

Разделим обе части уравнения на 

Замена:

Обратная замена:

Число обращается в 1, если его показатель равен 0

Ответ: x=0.

 

Пример 3.

Решите уравнение и найдите корни на заданном промежутке:

Приводим все слагаемые к одинаковому основанию:

Замена:

Ищем корни уравнения, путём подбора кратных свободному члену:

 – подходит, т.к. равенство выполняется.
 – подходит, т.к. равенство выполняется.
– подходит, т.к. равенство выполняется.
– не подходит, т.к. равенство не выполняется.

Обратная замена:

1) 

Число обращается в 1, если его показатель равен 0

2)

Не подходит, т.к. 

3)

Логарифмируем обе части по основанию 2:

Правая часть равна 1, т.к.

Показатель степени встаёт перед выражение, т.к. 

Отсюда:

Пример 4.

Решите уравнение:

Замена: , тогда

Обратная замена:

1 уравнение:

если основания чисел равны, то их показатели будут равны, то

2 уравнение:

Логарифмируем обе части по основанию 2:

Показатель степени встаёт перед выражение, т.к. 

Левая часть равна 2x, т.к. 

Отсюда:

 

Пример 5.

Решите уравнение:

Преобразуем левую часть:

Перемножаем степени по формуле: 

Упростим:  по формуле: 

Представим  в виде :

Замена:

Переведём дробь в неправильную:

Вычисляем корень из дискриминанта:

a2 -не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения

Обратная замена:

Приводим к общему основанию:

Если 

Ответ: x=20.

Пример 6.

Решите уравнение:

О.Д.З.

Преобразуем левую часть по формуле: 

Замена:

Вычисляем корень из дискриминанта:

a2-не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения

Приводим к общему основанию:

Если 

Возводим в квадрат обе части:

Ответ: x=9.

Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич

Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна

Вернутся к темам

Показательные уравнения – это уравнения вида

где

x -неизвестный показатель степени,

a и b– некоторые числа.

Примеры показательного уравнения:

А уравнения:

уже не будут являться показательными.

 

Рассмотрим примеры решения показательных уравнений:

Пример 1.
Найдите корень уравнения:

Приведем степени к одинаковому основанию, чтобы воспользоваться свойством степени с действительным показателем

 

Тогда можно будет убрать основание степени и перейти к равенству показателей.

Преобразуем левую часть уравнения:

Далее используем свойство степени 


Преобразуем правую часть уравнения:

Используем свойство степени 


Ответ: 4,5.

Пример 2.
Решите неравенство:

Разделим обе части уравнения на 

Замена:

Обратная замена:

Число обращается в 1, если его показатель равен 0

Ответ: x=0.

 

Пример 3.

Показательные уравнения. Начальный уровень.

Решите уравнение и найдите корни на заданном промежутке:

Приводим все слагаемые к одинаковому основанию:

Замена:

Ищем корни уравнения, путём подбора кратных свободному члену:

 – подходит, т.к. равенство выполняется.
 – подходит, т.к. равенство выполняется.
– подходит, т.к. равенство выполняется.
– не подходит, т.к. равенство не выполняется.

Обратная замена:

1) 

Число обращается в 1, если его показатель равен 0

2)

Не подходит, т.к. 

3)

Логарифмируем обе части по основанию 2:

Правая часть равна 1, т.к.

Показатель степени встаёт перед выражение, т.к. 

Отсюда:

Пример 4.

Решите уравнение:

Замена: , тогда

Обратная замена:

1 уравнение:

если основания чисел равны, то их показатели будут равны, то

2 уравнение:

Логарифмируем обе части по основанию 2:

Показатель степени встаёт перед выражение, т.к. 

Левая часть равна 2x, т.к. 

Отсюда:

 

Пример 5.

Решите уравнение:

Преобразуем левую часть:

Перемножаем степени по формуле: 

Упростим:  по формуле: 

Представим  в виде :

Замена:

Переведём дробь в неправильную:

Вычисляем корень из дискриминанта:

a2 -не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения

Обратная замена:

Приводим к общему основанию:

Если 

Ответ: x=20.

Пример 6.

Решите уравнение:

О.Д.З.

Преобразуем левую часть по формуле: 

Замена:

Вычисляем корень из дискриминанта:

a2-не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения

Приводим к общему основанию:

Если 

Возводим в квадрат обе части:

Ответ: x=9.

Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич

Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна

Вернутся к темам

Показательные уравнения – это уравнения вида

где

x -неизвестный показатель степени,

a и b– некоторые числа.

Примеры показательного уравнения:

А уравнения:

уже не будут являться показательными.

 

Рассмотрим примеры решения показательных уравнений:

Пример 1.
Найдите корень уравнения:

Приведем степени к одинаковому основанию, чтобы воспользоваться свойством степени с действительным показателем

 

Тогда можно будет убрать основание степени и перейти к равенству показателей.

Преобразуем левую часть уравнения:

Далее используем свойство степени 


Преобразуем правую часть уравнения:

Используем свойство степени 


Ответ: 4,5.

Пример 2.
Решите неравенство:

Разделим обе части уравнения на 

Замена:

Обратная замена:

Число обращается в 1, если его показатель равен 0

Ответ: x=0.

Методы решения показательных уравнений

 

Пример 3.

Решите уравнение и найдите корни на заданном промежутке:

Приводим все слагаемые к одинаковому основанию:

Замена:

Ищем корни уравнения, путём подбора кратных свободному члену:

 – подходит, т.к. равенство выполняется.
 – подходит, т.к. равенство выполняется.
– подходит, т.к. равенство выполняется.
– не подходит, т.к. равенство не выполняется.

Обратная замена:

1) 

Число обращается в 1, если его показатель равен 0

2)

Не подходит, т.к. 

3)

Логарифмируем обе части по основанию 2:

Правая часть равна 1, т.к.

Показатель степени встаёт перед выражение, т.к. 

Отсюда:

Пример 4.

Решите уравнение:

Замена: , тогда

Обратная замена:

1 уравнение:

если основания чисел равны, то их показатели будут равны, то

2 уравнение:

Логарифмируем обе части по основанию 2:

Показатель степени встаёт перед выражение, т.к. 

Левая часть равна 2x, т.к. 

Отсюда:

 

Пример 5.

Решите уравнение:

Преобразуем левую часть:

Перемножаем степени по формуле: 

Упростим:  по формуле: 

Представим  в виде :

Замена:

Переведём дробь в неправильную:

Вычисляем корень из дискриминанта:

a2 -не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения

Обратная замена:

Приводим к общему основанию:

Если 

Ответ: x=20.

Пример 6.

Решите уравнение:

О.Д.З.

Преобразуем левую часть по формуле: 

Замена:

Вычисляем корень из дискриминанта:

a2-не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения

Приводим к общему основанию:

Если 

Возводим в квадрат обе части:

Ответ: x=9.

Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич

Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна

Вернутся к темам

Показательные уравнения – это уравнения вида

где

x -неизвестный показатель степени,

a и b– некоторые числа.

Примеры показательного уравнения:

А уравнения:

уже не будут являться показательными.

 

Рассмотрим примеры решения показательных уравнений:

Пример 1.
Найдите корень уравнения:

Приведем степени к одинаковому основанию, чтобы воспользоваться свойством степени с действительным показателем

 

Тогда можно будет убрать основание степени и перейти к равенству показателей.

Преобразуем левую часть уравнения:

Далее используем свойство степени 


Преобразуем правую часть уравнения:

Используем свойство степени 


Ответ: 4,5.

Пример 2.
Решите неравенство:

Разделим обе части уравнения на 

Замена:

Обратная замена:

Число обращается в 1, если его показатель равен 0

Ответ: x=0.

 

Пример 3.

Решите уравнение и найдите корни на заданном промежутке:

Приводим все слагаемые к одинаковому основанию:

Замена:

Ищем корни уравнения, путём подбора кратных свободному члену:

 – подходит, т.к. равенство выполняется.
 – подходит, т.к. равенство выполняется.
– подходит, т.к. равенство выполняется.
– не подходит, т.к. равенство не выполняется.

Обратная замена:

1) 

Число обращается в 1, если его показатель равен 0

2)

Не подходит, т.к. 

3)

Логарифмируем обе части по основанию 2:

Правая часть равна 1, т.к.

Показатель степени встаёт перед выражение, т.к. 

Отсюда:

Пример 4.

Решите уравнение:

Замена: , тогда

Обратная замена:

1 уравнение:

если основания чисел равны, то их показатели будут равны, то

2 уравнение:

Логарифмируем обе части по основанию 2:

Показатель степени встаёт перед выражение, т.к. 

Левая часть равна 2x, т.к. 

Отсюда:

 

Пример 5.

Показательные уравнения (с неизвестной в показателе степени)

Решите уравнение:

Преобразуем левую часть:

Перемножаем степени по формуле: 

Упростим:  по формуле: 

Представим  в виде :

Замена:

Переведём дробь в неправильную:

Вычисляем корень из дискриминанта:

a2 -не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения

Обратная замена:

Приводим к общему основанию:

Если 

Ответ: x=20.

Пример 6.

Решите уравнение:

О.Д.З.

Преобразуем левую часть по формуле: 

Замена:

Вычисляем корень из дискриминанта:

a2-не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения

Приводим к общему основанию:

Если 

Возводим в квадрат обе части:

Ответ: x=9.

Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич

Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна

Вернутся к темам

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *