Решение квадратных неравенств примеры

Поиск Лекций

Решение квадратных неравенств методом параболы

Задания 4, 8, 21. Уравнения, неравенства и их системы

Пропорция

Отношение – это частное двух чисел.

Пропорция– равенство двух отношений.

Основное свойство пропорции:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Пример: Найти неизвестный член пропорции х : 20 = 2 : 5.

Решение: х и 5 — крайние члены пропорции, а 20 и 2 — средние.

5·х = 20·2применяем основное свойство пропорции;

х = 40:5произведение средних членов делим на известный крайний член;

х = 8получили искомый крайний член пропорции.

Уравнения

Уравнение– это буквенное равенство, которое справедливо только при некоторых значениях входящих в него букв.

Эти буквы называются неизвестными (переменными), а их значения, при которых данное уравнение обращается в верное равенство – корнями уравнения.

Решить уравнение– значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Равносильные уравнения – уравнения, у которых одинаковое решение

Основные тождественные преобразования (свойства уравнений)

Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой знака.

12x – 4=15x – 10

12х – 15х = – 10 +4

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число (выражение), отличное от нуля.

· 2

5х – 6 = 2х

3. Замена одного выражения другим, тождественно равным ему.

(3x+ 2)2 = 15x+10

9×2 + 12x + 4 = 15x + 10

Линейное уравнение с одной переменной

Общий вид линейного уравнения: ax + b = 0 , где а и b – любые числа.

Решение линейных уравненийпредполагает использование тождественных преобразований уравнений.

Пример: 3(х – 2) = 10 – (х – 5) — раскроем скобки

3х – 6 = 10 – х + 5 — перенесем слагаемые с х в одну часть, без х в другую

3х + х = 15 + 6 — приведем подобные слагаемые

4х = 21 — обе части уравнения разделим на 4

х = 5,25

Квадратное уравнение

Общий вид квадратного уравнения: + bx + c = 0, гдеa, b, c – числа, x – переменная. Если a = 0, то уравнение становится линейным. Поэтому, говоря о квадратных уравнениях, предполагается, что a 0.

Если коэффициент а = 1, то квадратное уравнение называют приведенным.

Квадратные уравнения

Полные(a 0, b 0, c 0) Неполные

+ bx + c = 0

+ bx = 0 (с = 0) + с = 0 (b = 0) = 0 (b = 0, с = 0)

Решение квадратных уравнений

1. В общем случае корни находятся через дискриминант D = b2 – 4ac.

® Если D> 0, то уравнение имеет 2 корня:

® Если D = 0, то уравнение имеет 1 корень:

® Если D< 0, то уравнение не имеет корней.

2. Если коэффициент b четный, то можно найти =.

Тогда корни находятся по формуле: .

3. Если уравнение приведенное, то можно использовать т. Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения + bx + c = 0 равна коэффициенту перед х, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

+ = – b

· = c

4. Неполные квадратные уравнения принято решать не через дискриминант.


Дробно-рациональные уравнения

Квадратные неравенства.

Найти общий знаменатель дробей;

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3. Решить получившееся целое уравнение;

4. Найти область допустимых значений (ОДЗ), исключив числа, при которых знаменатель обращается в 0.

5. В ответ записываются все корни, кроме тех, которые не удовлетворяют ОДЗ.

Пример: x(x-5) — умножим дроби на общий знаменатель

x(x-3) + x – 5 = x + 5 ОДЗ: х(х-5) 0

х2 – 3x – 10 = 0 x 0 и х – 5 0

x1 = -2; x2 = 5 х 5

Ответ: -2

Решение неравенств

Решить неравенство – значит найти границы, внутри которых должны находиться переменные, так чтобы неравенство было верным.

Линейные неравенства

Общий вид линейного неравенства: aх + b < 0 (знак неравенства может быть другим), где aи b – числа, х – неизвестная.

Линейные неравенства решаются с опорой на свойства, аналогично линейным уравнениям.Помним, если было произведено умножение или деление обеих частей неравенства на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный. В отличии от уравнений в ответ выписывается не конкретный набор чисел, а числовой промежуток.

Пример:

 
 

Ответ: х (- )

Квадратные неравенства

Общий вид квадратного неравенства: ах2 + bх + с < 0(знак неравенства может быть другим), где a, bи с– числа, х – неизвестная.

Для решения квадратных неравенств, есть 2 подхода (метод параболы и метод интервалов).

Решение квадратных неравенств методом параболы

Алгоритм:

ах2 + bх + с < 0 (ах2 + bх + с > 0)

1. Найти корни квадратного трехчлена ах2 + bх + с, для этого решаем квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0.

2. Определить, куда направлены ветви параболы

3. Отметить найденные корни на оси х (если неравенство строгое, то точки выколоты).

4. Схематично изобразить график.

5. Определить, для каких х ординаты графика отрицательны (положительны).

Другими словами: для каких х график функции находится ниже (выше) оси х.

6. Выписать промежуток в ответ.

Пример: х2 + х – 6 0

х2 + х – 6 = 0

х1 = -3, х2 = 2

у = х2 + х – 6

коэффициент а=1 > 0 => ветви вверх

находим часть параболы, которая выше оси х

Ответ: ( ]

Решение квадратных неравенств методом интервалов.

Алгоритм:

1) Преобразовать неравенство таким образом, чтобы в правой части остался 0.

2) Разложить выражение в левой части на множители.

3) Приравнять это выражение к 0 и решить получившееся уравнение.

Замечание: если уравнение дробно-рациональное, не забываем найти ОДЗ.

4) Полученные корни отметить на координатной прямой (если знак неравенства строгий – точки выколоты, если нестрогий – закрашены).

Замечание: если уравнение дробно-рациональное, то точки, не вошедшие в ОДЗ выкалываем на координатной прямой.

5) Отмеченные точки разбивают координатную прямую на промежутки.

Берем любое число из каждого промежутка, подставляем вместо х в разложенное на множители выражение (п.2) и определяем знак этого выражения.

Над каждым промежутком подписываем этот знак.

6) В ответ берутся те промежутки, которые соответствуют знаку неравенства («+» соответствует >0, «–» соответствует <0)

Пример 1: (х + 3)(х – 2) 0

(х + 3)(х – 2) = 0

х = -3, х = 2

Ответ: ( )

— перенесем 2 в левую часть неравенства— приведем к общему знаменателю— вычтем дроби— разложим на множители выражение слева (в числителе применяем формулу «квадрат разности»)— находим нули числителя и знаменателя— отмечаем на координатной прямой точку 1 (закрашена) и точку 0 (выколота)— получилось 3 промежутка, берем из каждого любое число и подставляем в выражение (х-1)2, везде получается знак +

Пример 2:

х = 1

Знак неравенства , это значит, что в ответ пойдут промежутки со знаком «–» и точки, отмеченные на оси. Видим, что промежутков со знаком «–» нет и есть всего одна закрашенная точка на оси. Она и идет в ответ.

Ответ: 1

 
 

Системы уравнений

Пару чисел (х; у), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнения системы, называют решением системы уравнений.

Решить систему – значит найти все ее решения или установить, что решений нет.

©2015-2018 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Квадратные неравенства — это неравенства, содержащие квадратный трехчлен ax2 + bx + c, где a ≠ 0.

Решить квадратное неравенство (как и любое другое) — это значит, найти область значений переменной (x), при которых неравенство становится верным.

Квадратное неравенство можно решить графическим методом (методом изображения параболы) и методом интервалов. Хотя метод интервалов также можно считать графическим, если эти интервалы изображаются на прямой.

Как известно, графиком функции y = ax2 + bx + c является парабола. Ее ветви направлены вверх, если a > 0, и вниз, если a < 0. Ось x парабола пересекает тогда, когда y = 0. То есть, решив уравнение ax2 + bx + c = 0, мы найдем те координаты x, в которых парабола пересекает ось x. Та часть (или части) параболы, которая лежит выше оси x, — это положительные значения функции. Ниже оси x — отрицательные. В зависимости от знака квадратного неравенства указываются числовые промежутки, где функция y = ax2 + bx + c принимает положительные или отрицательные значения.

Парабола может и не пересекать ось x. При этом соответствующее такой функции квадратное уравнение корней не имеет. Если же говорить о соответствующем неравенстве, то его решение зависит от знака неравенства и того, выше или ниже оси x расположена парабола. Когда знак неравенства > (, т. е. больше нуля), то вся парабола (любые значения x) является его решением, если она расположена выше оси x. Если знак

Для того, чтобы схематично изобразить или вообразить параболу на числовой оси, надо найти корни уравнения ax2 + bx + c = 0 (или обнаружить их отсутствие).

Пусть дано квадратное неравенство 4×2 – 5x + 1 < 0. Найдем корни уравнения 4×2 – 5x + 1 = 0:

D = (–5)2 – 4 * 4 * 1 = 25 – 16 = 9
x1 = (–(–5) + 3) / (2 * 4) = 1; x2 = (–(–5) – 3) / (2 * 4) = 0,25

Значит, парабола пересекает ось x в двух точках: 0,25 и 1. Так как коэффициент a данного уравнения положительный, то ветви параболы направлены вверх. Так как знак соответствующего уравнению неравенства < (требуется найти области значения x, при которых квадратный трехчлен меньше нуля), то область значений параболы, удовлетворяющих неравенству, находится в промежутке от 0,25 до 1 (чтобы понять это надо нарисовать или представить параболу). Так как знак неравенства не строгий, то сами эти числа в область значений не входят.

Таким образом, решением квадратного неравенства 4×2 – 5x + 1 < 0 является числовой промежуток, где x ∈ (0,25; 1).

Решение квадратных неравенств методом интервалов заключается в следующем:

  1. Определяются корни соответствующего трехчлену уравнения.
  2. Квадратных трехчлен раскладывается на множители по формуле ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), где x1 и x2 корни квадратного уравнения.
  3. Выясняется, при каких значениях x (на каких интервалах) разложенный на множители трехчлен положителен или отрицателен.
  4. В зависимости от знака квадратного неравенства определяется область значений, являющаяся его решением.

Пусть дано рассмотренное выше неравенство. Так как его корни 0,25 и 1, то получим неравенство:

4(x – 0,25)(x – 1) < 0

При каких значениях x данное произведение будет отрицательно?

  • Если x > 1, то все множители (и x – 0,25, и x – 1, и 4) положительны и, следовательно, произведение положительно. Значит область значений x > 1 не может быть решением неравенства.

    Алгебра – 9 класс. Системы неравенств

  • Если 0,25 < x < 1, то множитель x – 0,25 > 0, а вот x – 1 < 0. Следовательно, произведение множителей отрицательно, а неравенство верно. Значит промежуток (0,25; 1) является решением неравенства.
  • Если x < 0,25, то x – 0,25 < 0 и x – 1 < 0. Произведение двух отрицательных множителей и одного положительного (4) даст положительное число. Таким образом область значений x меньше 0,25 не является решением неравенства.

Делается вывод, что решением является лишь один интервал, где x ∈ (0,25; 1). При этом для наглядности на числовой прямой обозначают интервалы, где x принимает положительные или отрицательные значения.

Поиск Лекций

Решение квадратных неравенств методом параболы

Задания 4, 8, 21.

Математика

Уравнения, неравенства и их системы

Пропорция

Отношение – это частное двух чисел.

Пропорция– равенство двух отношений.

Основное свойство пропорции:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Пример: Найти неизвестный член пропорции х : 20 = 2 : 5.

Решение: х и 5 — крайние члены пропорции, а 20 и 2 — средние.

5·х = 20·2применяем основное свойство пропорции;

х = 40:5произведение средних членов делим на известный крайний член;

х = 8получили искомый крайний член пропорции.

Уравнения

Уравнение– это буквенное равенство, которое справедливо только при некоторых значениях входящих в него букв.

Эти буквы называются неизвестными (переменными), а их значения, при которых данное уравнение обращается в верное равенство – корнями уравнения.

Решить уравнение– значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Равносильные уравнения – уравнения, у которых одинаковое решение

Основные тождественные преобразования (свойства уравнений)

Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой знака.

12x – 4=15x – 10

12х – 15х = – 10 +4

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число (выражение), отличное от нуля.

· 2

5х – 6 = 2х

3. Замена одного выражения другим, тождественно равным ему.

(3x+ 2)2 = 15x+10

9×2 + 12x + 4 = 15x + 10

Линейное уравнение с одной переменной

Общий вид линейного уравнения: ax + b = 0 , где а и b – любые числа.

Решение линейных уравненийпредполагает использование тождественных преобразований уравнений.

Пример: 3(х – 2) = 10 – (х – 5) — раскроем скобки

3х – 6 = 10 – х + 5 — перенесем слагаемые с х в одну часть, без х в другую

3х + х = 15 + 6 — приведем подобные слагаемые

4х = 21 — обе части уравнения разделим на 4

х = 5,25

Квадратное уравнение

Общий вид квадратного уравнения: + bx + c = 0, гдеa, b, c – числа, x – переменная. Если a = 0, то уравнение становится линейным. Поэтому, говоря о квадратных уравнениях, предполагается, что a 0.

Если коэффициент а = 1, то квадратное уравнение называют приведенным.

Квадратные уравнения

Полные(a 0, b 0, c 0) Неполные

+ bx + c = 0

+ bx = 0 (с = 0) + с = 0 (b = 0) = 0 (b = 0, с = 0)

Решение квадратных уравнений

1. В общем случае корни находятся через дискриминант D = b2 – 4ac.

® Если D> 0, то уравнение имеет 2 корня:

® Если D = 0, то уравнение имеет 1 корень:

® Если D< 0, то уравнение не имеет корней.

2. Если коэффициент b четный, то можно найти =.

Тогда корни находятся по формуле: .

3. Если уравнение приведенное, то можно использовать т. Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения + bx + c = 0 равна коэффициенту перед х, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

+ = – b

· = c

4. Неполные квадратные уравнения принято решать не через дискриминант.


Дробно-рациональные уравнения

1. Найти общий знаменатель дробей;

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3. Решить получившееся целое уравнение;

4. Найти область допустимых значений (ОДЗ), исключив числа, при которых знаменатель обращается в 0.

5. В ответ записываются все корни, кроме тех, которые не удовлетворяют ОДЗ.

Пример: x(x-5) — умножим дроби на общий знаменатель

x(x-3) + x – 5 = x + 5 ОДЗ: х(х-5) 0

х2 – 3x – 10 = 0 x 0 и х – 5 0

x1 = -2; x2 = 5 х 5

Ответ: -2

Решение неравенств

Решить неравенство – значит найти границы, внутри которых должны находиться переменные, так чтобы неравенство было верным.

Линейные неравенства

Общий вид линейного неравенства: aх + b < 0 (знак неравенства может быть другим), где aи b – числа, х – неизвестная.

Линейные неравенства решаются с опорой на свойства, аналогично линейным уравнениям.Помним, если было произведено умножение или деление обеих частей неравенства на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный. В отличии от уравнений в ответ выписывается не конкретный набор чисел, а числовой промежуток.

Пример:

 
 

Ответ: х (- )

Квадратные неравенства

Общий вид квадратного неравенства: ах2 + bх + с < 0(знак неравенства может быть другим), где a, bи с– числа, х – неизвестная.

Для решения квадратных неравенств, есть 2 подхода (метод параболы и метод интервалов).

Решение квадратных неравенств методом параболы

Алгоритм:

ах2 + bх + с < 0 (ах2 + bх + с > 0)

1. Найти корни квадратного трехчлена ах2 + bх + с, для этого решаем квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0.

2. Определить, куда направлены ветви параболы

3. Отметить найденные корни на оси х (если неравенство строгое, то точки выколоты).

4. Схематично изобразить график.

5. Определить, для каких х ординаты графика отрицательны (положительны).

Другими словами: для каких х график функции находится ниже (выше) оси х.

6. Выписать промежуток в ответ.

Пример: х2 + х – 6 0

х2 + х – 6 = 0

х1 = -3, х2 = 2

у = х2 + х – 6

коэффициент а=1 > 0 => ветви вверх

находим часть параболы, которая выше оси х

Ответ: ( ]

Решение квадратных неравенств методом интервалов.

Алгоритм:

1) Преобразовать неравенство таким образом, чтобы в правой части остался 0.

2) Разложить выражение в левой части на множители.

3) Приравнять это выражение к 0 и решить получившееся уравнение.

Замечание: если уравнение дробно-рациональное, не забываем найти ОДЗ.

4) Полученные корни отметить на координатной прямой (если знак неравенства строгий – точки выколоты, если нестрогий – закрашены).

Замечание: если уравнение дробно-рациональное, то точки, не вошедшие в ОДЗ выкалываем на координатной прямой.

5) Отмеченные точки разбивают координатную прямую на промежутки.

Берем любое число из каждого промежутка, подставляем вместо х в разложенное на множители выражение (п.2) и определяем знак этого выражения.

Над каждым промежутком подписываем этот знак.

6) В ответ берутся те промежутки, которые соответствуют знаку неравенства («+» соответствует >0, «–» соответствует <0)

Пример 1: (х + 3)(х – 2) 0

(х + 3)(х – 2) = 0

х = -3, х = 2

Ответ: ( )

— перенесем 2 в левую часть неравенства— приведем к общему знаменателю— вычтем дроби— разложим на множители выражение слева (в числителе применяем формулу «квадрат разности»)— находим нули числителя и знаменателя— отмечаем на координатной прямой точку 1 (закрашена) и точку 0 (выколота)— получилось 3 промежутка, берем из каждого любое число и подставляем в выражение (х-1)2, везде получается знак +

Пример 2:

х = 1

Знак неравенства , это значит, что в ответ пойдут промежутки со знаком «–» и точки, отмеченные на оси. Видим, что промежутков со знаком «–» нет и есть всего одна закрашенная точка на оси. Она и идет в ответ.

Ответ: 1

 
 

Системы уравнений

Пару чисел (х; у), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнения системы, называют решением системы уравнений.

Решить систему – значит найти все ее решения или установить, что решений нет.

©2015-2018 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Примеры решения квадратных неравенств

Рассмотрим различные примеры решения квадратных неравенств.

1) 2x2 + x + 3 > 0

D = 1 – 4 × 2 × 3 < 0, корней нет, знак решаемого неравенства совпадает со знаком старшего коэффициента.

Ответ: R.

2) –x2 + 2x + 3 ³ 0

d = D = 1 + 3 = 4 > 0

Находим корни: x2 – 2x – 3 = 0, x1 = –1, x2 = 2.

Мысленно представляем себе график и сопоставляем его с заданным неравенством.

Ответ: .

Можно, конечно, сначала преобразовать данное неравенство, добившись того, чтобы старший коэффициент стал положительным: x2 – 2x – 3 £ 0.

3) 3x2 – 4x + 2 < 0

d = 22 – 2 × 3 < 0, корней нет. Левая часть всегда положительна.

Ответ: Æ (решений нет).

4) 4x2 – 12x + 9 £ 0

d = 62 – 4 × 9 = 0, корень (левая часть является полным квадратом
(2x – 3)2). Левая часть во всех остальных точках положительна.

Ответ: .

5) 2x2 + 5x – 7 > 0

Дискриминант можно не считать – надо сразу видеть, что трехчлен имеет два корня. Один угадывается (x = 1), второй находится по теореме Виета x1 = –, x2 = 1.

Старший коэффициент положителен. Записываем ответ.

Ответ: .

Ответы можно записывать и в виде неравенств x < –, x > 1.

6) (x – 3)(2x + 3) ³ 0

Разумеется, не нужно перемножать скобки.

Решение неравенств

Вся информация о поведении квадратичной функции в левой части очевидна.

Корни: x1 = –, x2 = 3 (не забывайте сначала писать меньший корень).

Знак старшего коэффициента: +.

Представляем мысленно график и записываем ответ, не забыв включить в него корни.

Ответ: .

7) x2 + (x + 1)2 > 0

Никаких преобразований делать не надо. В левой части стоит сумма двух квадратов, которая, конечно, неотрицательна. В нуль она обратиться не может, так как это могло быть только в случае, когда каждый из квадратов равен нулю, что одновременно невозможно.

Ответ: R.

8) –x2 + 4x – 4 < 0

Неравенство лучше преобразовать:

x2 – 4x + 4 > 0

(x – 2)2 > 0

Ответ: x¹2, или (–¥ ; 2) È (2; +¥ ).

Если у Вас остались вопросы по теме "Решение квадратных неравенств" и Вы хотите подготовиться к ГИА по математике, то рекомендуем Вам обратиться за помощью к онлайн репетитору по алгебре.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *