Правила умножения в столбик

Содержание

Математика 4 клас тема ПИСЬМОВЕ МНОЖЕННЯ НА ДВОЦИФРОВЕ ЧИСЛО. ЗАДАЧІ НА ЗАСТОСУВАННЯ ДІЇ МНОЖЕННЯ

Подробности Категория: математика 4 клас Опубликовано: 17.10.2015 06:55 Автор: Безносенко Діана

ПИСЬМОВЕ МНОЖЕННЯ НА ДВОЦИФРОВЕ ЧИСЛО. ЗАДАЧІ НА ЗАСТОСУВАННЯ ДІЇ МНОЖЕННЯ 

Мета: закріпити вміння учнів виконувати письмове множення на двоцифрове число; розвивати мислення, вміння аналізувати задачі, творчо працювати над ними; виховувати інтерес до предмета.

ХІД УРОКУ 

І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ 

II. КОНТРОЛЬ, КОРЕКЦІЯ І ЗАКРІПЛЕННЯ ЗНАНЬ 

1. Перевірка домашнього завдання 

2. Усні обчислення 

Гра «Ланцюжок» 

— До числа 270 додати 100; відняти 300; зменшити на 60; зменшити в 5 разів; збільшити в 9 разів; відняти 8; збільшити в 10 разів; збільшити на 700. Що вийшло? (800) 

Гра «Числовий безлад». Робота в групах 

— Розселіть вирази в «будиночки» — геометричні фігури.

200 + 500 = 700 

80 + 40 = 120 

33 • 3 = 99 

120 • 4 = 480 

90 • 5 = 450 

70 • 6 = 420 

Метод «Мікрофон» 

Учні по черзі виходять до дошки. Пояснюють розв’язання і поселяють вирази в «будиночки» — геометричні фігури, дають визначення кожної з них. Пояснюють свій вибір.

Орієнтовні відповіді учнів 

— Перший вираз я «поселяю» в круг, адже його результат 700 — кругле число.

Другий вираз «живе» в квадраті.

Квадрат — це прямокутник, що має 4 однакові за довжиною сторони і 4 прямі кути…

3. Математичний диктант 

— Запишіть математичні вирази. Обчисліть їх значення.

— Зменшуване 400, від’ємник — добуток чисел 30 і 2.

— Перший доданок — частка чисел 600 і 6, другий доданок — добуток чисел 90 і 10.

— Перший множник 25, другий — частка чисел 300 і 100.

— Суму чисел 15 і 20 збільшити в 2 рази.

— Від добутку чисел 12 і 6 відняти частку чисел 9 і 1.

— Ділене 72, дільник — частка чисел 8 і 8.

Відповіді: 400 – 30 • 2 = 340; 600 : 6 + 90 • 10 = 1000; 25 • (300 : 100) = 75; (15 + 20) • 2 = 70; 12 • 6 – 9 : 1 = 63; 72 : (8 : 8) = 72.

III. РОЗВИТОК МАТЕМАТИЧНИХ ЗНАНЬ 

1. Розв’язування виразів (завдання 112, з коментуванням) 

Учні записують вирази, знаходять їх значення.

85 – 7 • 8 = 29                                56 : (14 – 6) = 7 

2. Розв’язування задачі (усно) 

Завдання 113 

— Як знайти частину числа?

18 : 9 = 2 (кг) води 

3. Фронтальна робота. Виконання письмового множення з поясненням (завдання 114) 

. 42 . 31 . 23 . 17 . 67 

21 12 23 38 14 

+ 42 + 62 + 69 + 136 + 268 

84 31 46 51 67 

        882       372       529     646     938 

4. Фізкультхвилинка 

Один, два — руки вище, вище голова.

Три, чотири — руки тихо опустили.

П’ять, шість, сім — стати тихо всім.

5. Робота над задачею (завдання 116) 

— Скільки часу витрачає батько на дорогу до місця роботи і назад, якщо буде їздити автобусом?

— Скільки часу витрачає батько на дорогу до місця роботи і назад, якщо буде їздити на метро?

— На скільки менше часу витратить батько на дорогу до місця роботи і назад за 7 днів, якщо буде їздити тільки на метро?

Розв’язання 

1) 56 • 2 = 112 (хв) — витрачає батько на дорогу на автобусі за 1 день; 

2) 28 • 2 = 56 (хв) — витрачає батько на дорогу на метро за 1 день; 

3) 112 – 56 = 56 (хв) — економить батько за 1 поїздку на метро за 1 день; 

4) 56 • 7 = 392 (хв) = 6 год 32 хв — менше часу витратить батько на дорогу до місця роботи і назад за 7 днів, якщо буде їздити тільки на метро.

— Чи можна розв’язати задачу іншим способом?

(56 – 28) • 2 • 7 = 392 (хв), або 6 год 32 хв 

6. Колективна робота над завданням 115 

Учні розглядають малюнок, дають відповіді на запитання.

Маса одного ящика масла 40 : 5 = 8 кг; 

трьох ящиків 8 • 3 = 24 кг; 

двох ящиків 8 • 2 = 16 кг.

Примеры умножения на однозначное число столбиком (4 класс)

7. Обчислення виразів за зразком (завдання 117) 

7 • 4 + 5 = 33                33 : 7 = 4 (ост. 5) 

6 • 3 + 2 = 20               20 : 6 = 3 (ост. 2) 

7 • 8 + 4 = 60               60 : 7 = 8 (ост. 4) 

9 • 3 + 3 = 30               30 : 9 = 3 (ост. 3) 

— Яка остача може бути при діленні на 5? (1; 2; 3; 4); на 7? (1; 2; 3; 4; 5; 6).

Діти повторюють, що остача завжди менша за дільник.

IV. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ 

Завдання 118; 119 (с. 19).

V. ПІДСУМОК УРОКУ 

— Молодці! Я вам вдячна за сьогоднішній урок! Ви дуже гарно працювали.

— Що ви запам’ятали?

— Що здалося складним?

Все мы изучали в школе методы выполнения арифметических операций над числами. Чтобы облегчить процесс счета и ускорить его в разные времена для этого применялись различные устройства. Старшее поколение возможно еще помнит счеты и логарифмическую линейку, в то время как молодым известен только электронный калькулятор в различных его проявлениях.

Тем не менее, есть еще один универсальный способ выполнения арифметических операций без использования вспомогательных устройств известный всем с детства, это выполнения операций в столбик на листе бумаги. Мы уже рассматривали ранее сложение, вычитание и деление, а сейчас давай освежим нашу память и вспомним, как выполняется умножение в столбик.

Чтобы перемножить два числа в столбик (например 381 на 29), их нужно записать одно под другим, удобнее большее число располагается над меньшим. Кроме того необходимо разместить числа так, чтобы их разряды оказались друг над другом, то есть единицы над единицами, десятки над десятками, сотни над сотнями и так далее. Все точно также как и в случае сложения в столбик. После этого проводим под ними горизонтальную черту и пишем слева от них знак умножения «×».

Подготовительные операции выполнены, теперь переходим непосредственно к процессу перемножения. Счет идет справа налево, берем разряд единиц двух множителей в данном примере 1 и 9 и перемножаем их воспользовавшись знанием таблицы умножения. У нас получается 9, поскольку получившееся число меньше 10, то оно просто записывается под чертой в разряде единиц.

Теперь нам нужно перемножить цифру из разряда единиц нижнего числа на цифру из разряда десятков верхнего, то есть 9 на 8. В результате получается число 72, но поскольку оно больше 9, то оно разбивается на две части. Разряд единиц записывается под чертой левее ранее записанной цифры, то есть в разряде десятков, а 7 пишем над нашим столбиком, но со смещением на одну позицию вправо, над сотнями.

Следующим шагом нужно перемножить разряд единиц нижнего числа с разрядом сотен верхнего 9 на 3. Таблица умножения подсказывает, что в результате получится 27, но наверху над сотнями у нас еще записана цифра 7, значит ее нужно прибавить к 27 и в результате получится 34. Снова результат получился больше 9, значит записываем 4 под чертой в разряде сотен, но поскольку больше цифр в верхнем числе нет, то записываем 3 под чертой со смещение на одну позицию влево.

Половину дела мы сделали, перемножили 9 из нижнего множителя со всеми цифрами из верхнего. Теперь нужно сделать то же самое со второй цифрой из нижнего числа. Для этого считаем 2×1=2. Результат меньше 9, значит просто записываем его под чертой в столбце десятков, но уже на строчку ниже.

Следуя алгоритму, находим произведение чисел 2 и 8, в результате получается 16. Поскольку он больше 9, то он разбивается на две части, 6 записываем в столбце сотен под чертой, а 1 наверху столбика. Поскольку там уже есть 7 от предыдущего шага вычислений, то зачеркиваем ее, чтобы не запутаться.

Остался последний шаг, вычисляем 2×3=6 и наверху есть цифра 1, значит 6+1=7. Поскольку 7 меньше 10, то записываем ее под чертой левее предыдущей. В итоге под чертой у нас оказались два числа, как результат выполнения следующих операций 381×9=3427 и 381×2=762. Остался сущий пустяк, сложить эти два числа между собой способом сложения в столбик. Единственное что нужно отметить это то, что в позиции ниже 9 и правее 2 находится 0, который мы не записали.

В результате мы нашли произведение двух чисел методом умножения в столбик и получили результат 11049.

Примеры в одно действие на умножение. Математика 4 класс.

Кажется все очень сложно, но на самом деле долго объяснять, а когда дело доходит до практических вычислений все оказывается довольно быстро.

Фактически данный способ сводится к разбиению одного из множителей на составляющие его цифры, перемножение этих чисел с другим множителем и умножении получившегося числа на соответствующий разряд, а затем сложение получившихся чисел.

Предыдущий пример выглядит следующим образом, 9×381=3429 и поскольку 9 из разряда единиц, то 3429×1=3429. Идем дальше 2×381=762, поскольку 2 это десятки, то 762×10=7620. Осталось сложить 3429+7620=11049. Таким образом 29×381=11049.

С тем же успехом можно было сделать наоборот, 1×29×1=29, 8×29×10=2320, 3×29×100=8700. Теперь считаем 29+2320+8700=11049, результат тот же, надеюсь это никого не удивляет.

Умение выполнять арифметические операции без помощи калькулятора может сослужить хорошую службу даже в наш век повсеместного использования компьютеров. Впрочем, пересчитывать единицы информации все таки гораздо проще в онлайн-конвертере.

Математика 4 клас тема ПИСЬМОВЕ МНОЖЕННЯ НА ДВОЦИФРОВЕ ЧИСЛО. ЗАДАЧІ НА ЗАСТОСУВАННЯ ДІЇ МНОЖЕННЯ

Подробности Категория: математика 4 клас Опубликовано: 17.10.2015 06:55 Автор: Безносенко Діана

ПИСЬМОВЕ МНОЖЕННЯ НА ДВОЦИФРОВЕ ЧИСЛО. ЗАДАЧІ НА ЗАСТОСУВАННЯ ДІЇ МНОЖЕННЯ 

Мета: закріпити вміння учнів виконувати письмове множення на двоцифрове число; розвивати мислення, вміння аналізувати задачі, творчо працювати над ними; виховувати інтерес до предмета.

ХІД УРОКУ 

І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ 

II. КОНТРОЛЬ, КОРЕКЦІЯ І ЗАКРІПЛЕННЯ ЗНАНЬ 

1. Перевірка домашнього завдання 

2. Усні обчислення 

Гра «Ланцюжок» 

— До числа 270 додати 100; відняти 300; зменшити на 60; зменшити в 5 разів; збільшити в 9 разів; відняти 8; збільшити в 10 разів; збільшити на 700. Що вийшло? (800) 

Гра «Числовий безлад». Робота в групах 

— Розселіть вирази в «будиночки» — геометричні фігури.

200 + 500 = 700 

80 + 40 = 120 

33 • 3 = 99 

120 • 4 = 480 

90 • 5 = 450 

70 • 6 = 420 

Метод «Мікрофон» 

Учні по черзі виходять до дошки. Пояснюють розв’язання і поселяють вирази в «будиночки» — геометричні фігури, дають визначення кожної з них. Пояснюють свій вибір.

Орієнтовні відповіді учнів 

— Перший вираз я «поселяю» в круг, адже його результат 700 — кругле число.

Другий вираз «живе» в квадраті. Квадрат — це прямокутник, що має 4 однакові за довжиною сторони і 4 прямі кути…

3. Математичний диктант 

— Запишіть математичні вирази. Обчисліть їх значення.

— Зменшуване 400, від’ємник — добуток чисел 30 і 2.

— Перший доданок — частка чисел 600 і 6, другий доданок — добуток чисел 90 і 10.

— Перший множник 25, другий — частка чисел 300 і 100.

— Суму чисел 15 і 20 збільшити в 2 рази.

— Від добутку чисел 12 і 6 відняти частку чисел 9 і 1.

— Ділене 72, дільник — частка чисел 8 і 8.

Відповіді: 400 – 30 • 2 = 340; 600 : 6 + 90 • 10 = 1000; 25 • (300 : 100) = 75; (15 + 20) • 2 = 70; 12 • 6 – 9 : 1 = 63; 72 : (8 : 8) = 72.

III. РОЗВИТОК МАТЕМАТИЧНИХ ЗНАНЬ 

1. Розв’язування виразів (завдання 112, з коментуванням) 

Учні записують вирази, знаходять їх значення.

85 – 7 • 8 = 29                                56 : (14 – 6) = 7 

2. Розв’язування задачі (усно) 

Завдання 113 

— Як знайти частину числа?

18 : 9 = 2 (кг) води 

3. Фронтальна робота. Виконання письмового множення з поясненням (завдання 114) 

. 42 . 31 . 23 . 17 . 67 

21 12 23 38 14 

+ 42 + 62 + 69 + 136 + 268 

84 31 46 51 67 

        882       372       529     646     938 

4. Фізкультхвилинка 

Один, два — руки вище, вище голова.

Умножение столбиком — игра-тренажёр онлайн

Три, чотири — руки тихо опустили.

П’ять, шість, сім — стати тихо всім.

5. Робота над задачею (завдання 116) 

— Скільки часу витрачає батько на дорогу до місця роботи і назад, якщо буде їздити автобусом?

— Скільки часу витрачає батько на дорогу до місця роботи і назад, якщо буде їздити на метро?

— На скільки менше часу витратить батько на дорогу до місця роботи і назад за 7 днів, якщо буде їздити тільки на метро?

Розв’язання 

1) 56 • 2 = 112 (хв) — витрачає батько на дорогу на автобусі за 1 день; 

2) 28 • 2 = 56 (хв) — витрачає батько на дорогу на метро за 1 день; 

3) 112 – 56 = 56 (хв) — економить батько за 1 поїздку на метро за 1 день; 

4) 56 • 7 = 392 (хв) = 6 год 32 хв — менше часу витратить батько на дорогу до місця роботи і назад за 7 днів, якщо буде їздити тільки на метро.

— Чи можна розв’язати задачу іншим способом?

(56 – 28) • 2 • 7 = 392 (хв), або 6 год 32 хв 

6. Колективна робота над завданням 115 

Учні розглядають малюнок, дають відповіді на запитання.

Маса одного ящика масла 40 : 5 = 8 кг; 

трьох ящиків 8 • 3 = 24 кг; 

двох ящиків 8 • 2 = 16 кг.

7. Обчислення виразів за зразком (завдання 117) 

7 • 4 + 5 = 33                33 : 7 = 4 (ост. 5) 

6 • 3 + 2 = 20               20 : 6 = 3 (ост. 2) 

7 • 8 + 4 = 60               60 : 7 = 8 (ост. 4) 

9 • 3 + 3 = 30               30 : 9 = 3 (ост. 3) 

— Яка остача може бути при діленні на 5? (1; 2; 3; 4); на 7? (1; 2; 3; 4; 5; 6).

Діти повторюють, що остача завжди менша за дільник.

IV. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ 

Завдання 118; 119 (с. 19).

V. ПІДСУМОК УРОКУ 

— Молодці! Я вам вдячна за сьогоднішній урок! Ви дуже гарно працювали.

— Що ви запам’ятали?

— Що здалося складним?

Письменное умножение и деление

Большие числа удобно перемножать и делить письменно в столбик.  — это поразрядное умножение. Каждый разряд второго множителя умножается на первый множитель как одноразрядное число. В произведении поэтапного (разрядного) умножения первый разряд попадает в столбец того разряда второго множителя, на который умножают.

Правило. При умножении в столбик два множителя располагаются один под другим так, чтобы разряды чисел совпадали (находились в одном столбце). Слева ставится знак «х».

Если один из множителей или оба множителя оканчиваются нулями, то числа записываются так, чтобы значащие цифры наименьшего из разрядов находились в одном столбце. Нули переносятся в произведение и в поле записи поэтапных произведений не заносятся.

Поэтапные (разрядные) произведения складываются по разрядам и под чертой записывается результат. Слева от слагаемых произведений ставится знак «+».

Письменное умножение в столбик равноценно письменному умножению по разрядам в строку. При письменном умножении в строку применяются сочетательный и распределительный законы умножения (сумму заменяем слагаемыми и первый множитель умножаем на каждое из слагаемых).

Пример.
1 014 * 258 = 261 612
1 014 * 258 = 1 014 * (200 + 50 + 8) = 1 014 * 200 + 1 014 * 50 + 1014 * 8 = 202 800 + 50 700 + 8 112 = 261 612

Чтобы перемножить в столбик числа, оканчивающиеся нулями, нужно их подписать друг под другом так, чтобы первая справа значащая цифра первого множителя стояла под первой справа значащей цифрой второго множителя

Например: 1 014 * 258 = 261 612

  •      1014   — первый множитель
  • Х
  •        258   — второй множитель
  • ———      поэтапные произведения:
  •      8112   — слагаемое (первое произведение)
  • + 5070    — слагаемое (второе произведение)
  •   2028      — слагаемое  (третье произведение)
  • ———
  •   261612  — сумма (результат умножения)

Примеры записи умножении чисел, оканчивающихся нулями.

  •       450
  • Х
  •       270
  • ———
  •    315       (45 * 7 = 315)
  • +
  •    90         (45 * 2 = 90)
  • ———
  •  121500

Внимание! Нули в конце множителей в поэтапном умножении не принимают участия, а сразу все нули множителей переносятся в результат вычислений.

Правильная запись:

Неправильная запись

Письменное деление многозначных натуральных чисел осуществляется и в строку, и в столбик по этапам.

Правило. При письменном делении двух натуральных чисел слева записывается делимое, а справа от него через вертикальную черту — делитель.

Под делимым в столбец записываются поэтапные произведения каждого разряда частного на делитель. После каждого поэтапного произведения проводим горизонтальную черту, под которой записывается разность делимого и произведения, которая должна быть всегда меньше делителя, если разряд частного вычислен верно. Дополнив разность следующим разрядом делимого, принимаем это число за следующее поэтапное делимое.

Деление по этапам производим до первого разряда заданного условием делимого.

Карточки «Письменное деление на однозначное число»

Если последняя разность 0 или число, меньшее делителя, то деление натуральных чисел окончено.

Частное по разрядам (от большего к меньшему) записывается под горизонтальной чертой под делителем. В частном должно быть столько же разрядов, сколько этапов деления.

Рассмотрим пример: 12 546 : 82
Производим деление первого этапа. Множитель (1) записываем как высший разряд частного. Вычисляем разность делимого и произведения первого этапа деления (125 — 82 = 43) и дописываем к ней справа один разряд из делимого, который стоит после наименьшего разряда числа, взятого для первого этапа деления. Полученное число (434) служит делимым второго этапа
деления.

Делимое второго этапа делим на делитель (434 : 82), определяем следующий разряд в частном (5) и остаток после второго этапа деления (24). Дописываем к остатку следующий разряд делимого и выполняем третий этап деления (246 : 82). Определяем третье число в частном (3) и остаток (0).

Деление окончено после третьего этапа, следовательно, в частном — трех разрядное число (153).

Проще такое деление производить в столбик также в три этана (деление углом — это тоже поэтапное деление):

Делимое кратно 82, так как разделилось без остатка.

Основное свойство частного

Правило. Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то их частное не изменится.

Например:
12 : 4 = 3

умножим делимое и делитель на 5, получим:
60 : 20 = 3

Например:
625 : 125 = 5
разделим делимое и делитель на 25, получим:
125 : 5 = 5

Запись опубликована в рубрике Математика с метками деление, умножение. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

Умножение корней: основные правила

Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.

Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:)

Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:

  1. Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать.
  2. Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще. С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм.

Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.

Основное правило умножения

Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Тех самых, которые обозначаются $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$. Для них всё вообще очевидно:

. Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:

\

Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.

Примеры.

Математика – 4 класс. Деление

Рассмотрим сразу четыре примера с числами:

\

Как видите, основной смысл этого правила — упрощение иррациональных выражений. И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: $\sqrt{32}$ и $\sqrt{2}$ сами по себе не считаются, но их произведение оказывается точным квадратом, поэтому корень из него равен рациональному числу.

Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.

Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.

Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Взгляните:

Примеры.

\

И опять небольшое замечание по второму примеру. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. Так вот: очень рекомендую избавляться от десятичных дробей в любых иррациональных выражениях (т.е. содержащих хотя бы один значок радикала). В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.

Но это было лирическое отступление. Теперь рассмотрим более общий случай — когда в показателе корня стоит произвольное число $n$, а не только «классическая» двойка.

Случай произвольного показателя

Итак, с квадратными корнями разобрались. А что делать с кубическими? Или вообще с корнями произвольной степени $n$? Да всё то же самое. Правило остаётся прежним:

Чтобы перемножить два корня степени $n$, достаточно перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.

В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться больше. Разберём парочку примеров:

Примеры. Вычислить произведения:

\{20}\cdot \sqrt{\frac{125}{4}}=\sqrt{20\cdot \frac{125}{4}}=\sqrt{625}=5; \\ & \sqrt{\frac{16}{625}}\cdot \sqrt{0,16}=\sqrt{\frac{16}{625}\cdot \frac{16}{100}}=\sqrt{\frac{64}{{{25}^{2}}\cdot 25}}= \\ & =\sqrt{\frac{{{4}^{3}}}{{{25}^{3}}}}=\sqrt{{{\left( \frac{4}{25} \right)}^{3}}}=\frac{4}{25}. \\ \end{align}\]

И вновь внимание второе выражение. Мы перемножаем кубические корни, избавляемся от десятичной дроби и в итоге получаем в знаменателе произведение чисел 625 и 25. Это довольно большое число — лично я с ходу не посчитаю, чему оно равно.

Поэтому мы просто выделили точный куб в числителе и знаменателе, а затем воспользовались одним из ключевых свойств (или, если угодно — определением) корня $n$-й степени:

\{{{a}^{2n+1}}}=a; \\ & \sqrt{{{a}^{2n}}}=\left| a \right|. \\ \end{align}\]

Подобные «махинации» могут здорово сэкономить вам время на экзамене или контрольной работе, поэтому запомните:

Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. Сначала проверьте: вдруг там «зашифрована» точная степень какого-либо выражения?

При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: почему это получились такие зверские числа?:)

Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим сейчас.

Умножение корней с разными показателями

Ну хорошо, теперь мы умеем перемножать корни с одинаковыми показателями. А что, если показатели разные? Скажем, как умножить обычный $\sqrt{2}$ на какую-нибудь хрень типа $\sqrt{23}$? Можно ли вообще это делать?

Да конечно можно. Всё делается вот по этой формуле:

. Чтобы умножить $\sqrt{a}$ на $\sqrt{b}$, достаточно выполнить вот такое преобразование:

\{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\]

Однако эта формула работает только при условии, что подкоренные выражения неотрицательны.

Это очень важное замечание, к которому мы вернёмся чуть позже.

А пока рассмотрим парочку примеров:

\{3}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{{{3}^{4}}\cdot {{2}^{3}}}=\sqrt{81\cdot 8}=\sqrt{648}; \\ & \sqrt{2}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{{{2}^{5}}\cdot {{7}^{2}}}=\sqrt{32\cdot 49}=\sqrt{1568}; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt{625\cdot 9}=\sqrt{5625}. \\ \end{align}\]

Как видите, ничего сложного. Теперь давайте разберёмся, откуда взялось требование неотрицательности, и что будет, если мы его нарушим.:)

Почему подкоренные выражения должны быть неотрицательными?

Конечно, можно уподобиться школьным учителям и с умным видом процитировать учебник:

Требование неотрицательности связано с разными определениями корней чётной и нечётной степени (соответственно, области определения у них тоже разные).

Ну что, стало понятнее? Лично я, когда читал этот бред в 8-м классе, понял для себя примерно следующее: «Требование неотрицательности связано с *#&^@(*#@^#)~%» — короче, я нихрена в тот раз не понял.:)

Поэтому сейчас объясню всё по-нормальному.

Сначала выясним, откуда вообще берётся формула умножения, приведённая выше. Для этого напомню одно важное свойство корня:

\{a}=\sqrt{{{a}^{k}}}\]

Другими словами, мы можем спокойно возводить подкоренное выражение в любую натуральную степень $k$ — при этом показатель корня придётся умножить на эту же степень. Следовательно, мы легко сведём любые корни к общему показателю, после чего перемножим. Отсюда и берётся формула умножения:

\{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{{{a}^{p}}}\cdot \sqrt{{{b}^{n}}}=\sqrt{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\]

Но есть одна проблема, которая резко ограничивает применение всех этих формул. Рассмотрим вот такое число:

\{-5}\]

Согласно только что приведённой формуле мы можем добавить любую степень. Попробуем добавить $k=2$:

\{-5}=\sqrt{{{\left( -5 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}}\]

Минус мы убрали как раз потому, что квадрат сжигает минус (как и любая другая чётная степень). А теперь выполним обратное преобразование: «сократим» двойку в показателе и степени. Ведь любое равенство можно читать как слева-направо, так и справа-налево:

\{a}=\sqrt{{{a}^{k}}}\Rightarrow \sqrt{{{a}^{k}}}=\sqrt{a}; \\ & \sqrt{{{a}^{k}}}=\sqrt{a}\Rightarrow \sqrt{{{5}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}}=\sqrt{5}. \\ \end{align}\]

Но тогда получается какая-то хрень:

\{-5}=\sqrt{5}\]

Этого не может быть, потому что $\sqrt{-5} \lt 0$, а $\sqrt{5} \gt 0$. Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает. После чего у нас есть два варианта:

  1. констатировать, что математика — это дурацкая наука, где «есть какие-то правила, но это неточно»;
  2. Ввести дополнительные ограничения, при которых формула станет рабочей на 100%.

В первом варианте нам придётся постоянно вылавливать «неработающие» случаи — это трудно, долго и вообще фу. Поэтому математики предпочли второй вариант.:)

Но не переживайте! На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы.

Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями:

Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны.

Пример. В числе $\sqrt{-5}$ можно вынести минус из-под знака корня — тогда всё будет норм:

\{-5}=-\sqrt{5} \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt{-5}=-\sqrt{{{5}^{2}}}=-\sqrt{25}=-\sqrt{{{5}^{2}}}=-\sqrt{5} \lt 0 \\ \end{align}\]

Чувствуете разницу? Если оставить минус под корнем, то при возведении подкоренного выражения в квадрат он исчезнет, и начнётся хрень. А если сначала вынести минус, то можно хоть до посинения возводить/убирать квадрат — число останется отрицательным.:)

Таким образом, самый правильный и самый надёжный способ умножения корней следующий:

  1. Убрать все минусы из-под радикалов. Минусы бывают только в корнях нечётной кратности — их можно поставить перед корнем и при необходимости сократить (например, если этих минусов окажется два).
  2. Выполнить умножение согласно правилам, рассмотренным выше в сегодняшнем уроке. Если показатели корней одинаковые, просто перемножаем подкоренные выражения. А если разные — используем злобную формулу \{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\].
  3. 3.Наслаждаемся результатом и хорошими оценками.:)

Ну что? Потренируемся?

Пример 1. Упростите выражение:

\{48}\cdot \sqrt{-\frac{4}{3}}=\sqrt{48}\cdot \left( -\sqrt{\frac{4}{3}} \right)=-\sqrt{48}\cdot \sqrt{\frac{4}{3}}= \\ & =-\sqrt{48\cdot \frac{4}{3}}=-\sqrt{64}=-4; \end{align}\]

Это самое простой вариант: показатели корней одинаковы и нечётны, проблема лишь в минусе у второго множителя. Выносим этот минус нафиг, после чего всё легко считается.

Пример 2. Упростите выражение:

\{32}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{{{2}^{5}}}\cdot \sqrt{{{2}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{2}^{5}} \right)}^{3}}\cdot {{\left( {{2}^{2}} \right)}^{4}}}= \\ & =\sqrt{{{2}^{15}}\cdot {{2}^{8}}}=\sqrt{{{2}^{23}}} \\ \end{align}\]

Здесь многих смутило бы то, что на выходе получилось иррациональное число. Да, так бывает: мы не смогли полностью избавиться от корня, но по крайней мере существенно упростили выражение.

Пример 3. Упростите выражение:

\{a}\cdot \sqrt{{{a}^{4}}}=\sqrt{{{a}^{3}}\cdot {{\left( {{a}^{4}} \right)}^{6}}}=\sqrt{{{a}^{3}}\cdot {{a}^{24}}}= \\ & =\sqrt{{{a}^{27}}}=\sqrt{{{a}^{3\cdot 9}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \end{align}\]

Вот на это задание хотел бы обратить ваше внимание. Тут сразу два момента:

  1. Под корнем стоит не конкретное число или степень, а переменная $a$. На первый взгляд, это немного непривычно, но в действительности при решении математических задач чаще всего придётся иметь дело именно с переменными.
  2. В конце мы умудрились «сократить» показатель корня и степень в подкоренном выражении. Такое случается довольно часто. И это означает, что можно было существенно упростить вычисления, если не пользоваться основной формулой.

Например, можно было поступить так:

\{a}\cdot \sqrt{{{a}^{4}}}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{{{\left( {{a}^{4}} \right)}^{2}}}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{{{a}^{8}}} \\ & =\sqrt{a\cdot {{a}^{8}}}=\sqrt{{{a}^{9}}}=\sqrt{{{a}^{3\cdot 3}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \\ \end{align}\]

По сути, все преобразования выполнялись лишь со вторым радикалом. И если не расписывать детально все промежуточные шаги, то в итоге объём вычислений существенно снизится.

На самом деле мы уже сталкивались с подобным задание выше, когда решали пример $\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}$. Теперь его можно расписать намного проще:

\{3}=\sqrt{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{5}^{2}}\cdot 3 \right)}^{2}}}= \\ & =\sqrt{{{\left( 75 \right)}^{2}}}=\sqrt{75}. \end{align}\]

Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?

Смотрите также:

  1. Что такое корень натуральной степени $n$
  2. Сложные иррациональные уравнения — что с ними делать и как их решать?
  3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 1 (без логарифмов)
  4. Как решать задачи B15 без производных
  5. Как обеспечить себе достойную старость?
  6. Выбор репетитора по математике для подготовки к ЕГЭ

Урок 3. Традиционное умножение в уме

Давайте рассмотрим, как можно умножать двузначные числа, используя традиционные методы, которым нас обучают в школе. Некоторые из этих методов, могут позволить вам быстро перемножать в уме двузначные числа при достаточной тренировке. Знать эти методы полезно. Однако важно понимать, что это лишь вершина айсберга. В данном уроке рассмотрены наиболее популярные приемы умножения двузначных чисел.

Первый способ – раскладка на десятки и единицы

Самым простым для понимания способом умножения двузначных чисел является тот, которому нас научили в школе. Он заключается в разбиении обоих множителей на десятки и единицы с последующим перемножением получившихся четырех чисел.

Примеры по математике 4 класс

Этот метод достаточно прост, но требует умения удерживать в памяти одновременно до трех чисел и при этом параллельно производить арифметические действия.

Например: 63*85 = (60+3)*(80+5) = 60*80 + 60*5 +3*80 + 3*5=4800+300+240+15=5355

Проще такие примеры решаются в 3 действия. Сначала умножаются десятки друг на друга. Потом складываются 2 произведения единиц на десятки. Затем прибавляется произведение единиц. Схематично это можно описать так:

  • Первое действие: 60*80 = 4800 — запоминаем
  • Второе действие: 60*5+3*80 = 540 – запоминаем
  • Третье действие: (4800+540)+3*5= 5355 – ответ

Для максимально быстрого эффекта потребуется хорошее знание таблицы умножения чисел до 10, умение складывать числа (до трехзначных), а также способность быстро переключать внимание с одного действия на другое, держа предыдущий результат в уме. Последний навык удобно тренировать путем визуализации совершаемых арифметических операций, когда вы должны представлять себе картинку вашего решения, а также промежуточные результаты.

Вывод. Не трудно убедиться в том, что этот способ не является самым эффективным, то есть позволяющим при наименьших действиях получить правильный результат. Следует принять во внимание другие способы.

Второй способ – арифметические подгонки

Приведение примера к удобному виду является достаточно распространенным способом счета в уме. Подгонять пример удобно, когда вам нужно быстро найти примерный или точный ответ. Желание подгонять примеры под определенные математические закономерности часто воспитывается на математических кафедрах в университетах или в школах в классах с математическим уклоном. Людей учат находить простые и удобные алгоритмы решения различных задач. Вот некоторые примеры подгонки:

Пример 49*49 может решаться так: (49*100)/2-49. Сначала считается 49 на сто – 4900. Затем 4900 делится на 2, что равняется 2450, затем вычитается 49. Итого 2401.

Произведение 56*92 решается так: 56*100-56*2*2*2. Получается: 56*2= 112*2=224*2=448. Из 5600 вычитаем 448, получаем 5152.

Этот способ может оказаться эффективнее предыдущего только в случае, если вы владеете устным счетом на базе перемножения двузначных чисел на однозначные и можете держать в уме одновременно несколько результатов. К тому же приходится тратить время на поиск алгоритма решения, а также уходит много внимания за правильным соблюдением этого алгоритма.

Вывод. Способ, когда вы стараетесь умножить 2 числа, раскладывая их на более простые арифметические процедуры, отлично тренирует ваши мозги, но связан с большими мысленными затратами, а риск получить неправильный результат выше, чем при первом методе.

Третий способ — мысленная визуализация умножения в столбик

56*67 – посчитаем в столбик.

Наверное, счет столбиком содержит максимальное количество действий и требует постоянно держать в уме вспомогательные числа. Но его можно упростить. Во втором уроке рассказывалось, что важно уметь быстро умножать однозначные числа на двузначные. Если вы уже умеете это делать на автомате, то счет в столбик в уме для вас будет не таким уж и трудным. Алгоритм таков

Первое действие: 56*7 = 350+42=392 – запомните и не забывайте до третьего действия.

Второе действие: 56*6=300+36=336 (ну или 392-56)

Третье действие: 336*10+392=3360+392=3 752 – тут посложнее, но вы можете начинать называть первое число, в котором уверены – «три тысячи…», а пока говорите, складывайте 360 и 392.

Вывод: счет в столбик напрямую сложен, но вы можете, при наличии навыка быстрого умножения двузначных чисел на однозначные, его упросить. Добавьте в свой арсенал и этот метод. В упрощенном виде счет в столбик является некоторой модификацией первого метода. Что лучше – вопрос на любителя.

Как можно заметить, ни один из описанных выше способов не позволяет считать в уме достаточно быстро и точно все примеры умножения двузначных чисел. Нужно понимать, что использование традиционных способов умножения для счета в уме не всегда является рациональным, то есть позволяющим при наименьших усилиях достигать максимального результата.

2 Простая арифметика4 Частные методики →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *