Объем правильного тетраэдра формула

Тетраэдр представляет собой один из 5-ти существующих правильных многоугольников, точнее многогранников, в котором грани и есть правильные многоугольники.

Формула вычисления объема правильного тетраэдра

Найти или рассчитать объем правильного тетраэдра можно двумя способами как по общепринятой формуле для всех видов тетраэдра, так и по иной формуле только для правильного тетраэдра.

Объем правильного тетраэдра находится согласно следующей формуле:

При этом а является длинной ребра нашей фигуры.

Но бывают случаи, когда в начальном условии не указана длина ребра тетраэдра.

1) найдите объём правильного тетраэдра с ребром а 2)пирамида имеет 28 ребер сколько

В такой ситуации найти объем фигуры весьма легко, нужно лишь использовать формулу, которая подходит для решения данной задачи.

Для начала давайте обозначим все исходные условия.

  • S – площадь
  • h – высота, опущенная на грань

В данной ситуации объем правильного тетраэдра необходимо находить по следующей формуле:

Хотя, если Вам известен угол, расположенный между двумя гранями тетраэдра и непосредственно площади данных граней, то решить задачу можно совершенно иным способом. Формула для вычисления объема фигуры будет иметь следующий вид:

  • V = sin<у * 2/3 * (Sα * Sβ)/АВ

Как Вы можете видеть, казалось бы сложная задача, решается формулой, записанной всего лишь одной строчкой.

Иногда могут встречать и другие ситуации. Например, нам дали правильный тетраэдр, вершины которого заданы в декартовой системе координат. Для нахождения объема правильного тетраэдра в этой задаче, необходимо решить матрицу.

В этом случае в качестве первоначального условия нам известны лишь координаты вершин: для первой значения (х1, y1, z1), для второй соответствует значение (x2, у2, z2), для третьей (x3, у3, z3) и соответственно для четвертой (x4, у4, z4).

Формулы между собой достаточно различаются, поэтому прежде чем Вы приступите к решению задачи, внимательно ознакомьтесь с начальными условиями, чтобы выбрать правильную формулу.

Для нахождения объему любого тетраэдра можно использовать общую формулу:

Где а и b являются длинами ребер, которые между собой скрещиваются, а c является расстоянием между прямыми, содержащих их, ? – это угол между прямыми.

Как увеличится объем тетраэдра если ребра увеличить/уменьшить в 2 раза

Поскольку объем вычисляется по формуле:

где а – величина ребра в принятых единицах измерения, то при увеличении ребер в два раза будут составлять 2 в кубе = 8. то есть правильным ответом будет: в восемь раз.

Другими словами увеличение либо уменьшение объема правильного тетраэдра пропорционально кубу увеличения либо уменьшения его ребра.

Объем правильного тетраэдра

Тетраэдр — это частный случай правильной треугольной пирамиды.

Тетраэдр — правильный многогранник (четырёхгранный), имеющий 4 грани, они, в свою очередь, оказываются правильными треугольниками. У тетраэдра 4 вершины, к каждой из них сходится 3 ребра. Общее количество ребер у тетраэдра 6.

           

Медиана тетраэдра — это отрезок, который соединяет вершину тетраэдра и точку пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, который противолежит вершине).

Бимедиана тетраэдра — это отрезок, который соединяет середины рёбер, что скрещиваются (соединяет середины сторон треугольника, который есть одной из граней тетраэдра).

Высота тетраэдра — это отрезок, который соединяет вершину и точку противоположной грани и перпендикулярен этой грани (т.е. это высота, проведенная от всякой грани, кроме того, совпадает с центром описанной окружности).

Свойства тетраэдра.

Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра.

Плоскость, которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему.

Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части.

Типы тетраэдров.

Правильный тетраэдр — это такая правильная треугольная пирамида, каждая из граней которой оказывается равносторонним треугольником.

У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину.

Тетраэдр состоит из 4 граней, 4 вершин и 6 ребер.

Правильный тетраэдр — это один из 5-ти правильных многогранников.

Кроме правильного тетраэдра, заслуживают внимания такие  типы тетраэдров:

Равногранный тетраэдр, у него каждая грань представляет собой треугольник. Все грани-треугольники такого тетраэдра равны.

Ортоцентрический тетраэдр, у него каждая высота, опущенная из вершин на противоположную грань, пересекается с остальными в одной точке.

Прямоугольный тетраэдр, у него каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине.

Каркасный тетраэдр — тетраэдр, который таким условиям:

  • есть сфера, которая касается каждого ребра,
  • суммы длин ребер, что скрещиваются равны,
  • суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
  • окружности, которые вписаны в грани, попарно касаются,
  • каждый  четырехугольник, образующийся на развертке тетраэдра, — описанный,
  • перпендикуляры, поставленные к граням из центров окружностей, в них вписанных, пересекаются в одной точке.

Соразмерный тетраэдр, бивысоты у него одинаковы.

Инцентрический тетраэдр, у него отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Формулы для определения элементов тетраэдра.

Высота тетраэдра:

где h — высота тетраэдра, a — ребро тетраэдра.

Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

где V — объем тетраэдра, a — ребро тетраэдра.

Основные формулы для правильного тетраэдра:

Где S — Площадь поверхности правильного тетраэдра;

V – объем;

h — высота, опущенная на основание;

r — радиус вписанной в тетраэдр окружности;

R — радиус описанной окружности;

a — длина ребра.

Тетраэдр представляет собой один из 5-ти существующих правильных многоугольников, точнее многогранников, в котором грани и есть правильные многоугольники.

Формула вычисления объема правильного тетраэдра

Найти или рассчитать объем правильного тетраэдра можно двумя способами как по общепринятой формуле для всех видов тетраэдра, так и по иной формуле только для правильного тетраэдра.

Объем правильного тетраэдра находится согласно следующей формуле:

При этом а является длинной ребра нашей фигуры.

Но бывают случаи, когда в начальном условии не указана длина ребра тетраэдра.

Решение на Задание 37, Параграф 7 из ГДЗ по Геометрии за 10-11 класс: Погорелов А. В.

В такой ситуации найти объем фигуры весьма легко, нужно лишь использовать формулу, которая подходит для решения данной задачи.

Для начала давайте обозначим все исходные условия.

  • S – площадь
  • h – высота, опущенная на грань

В данной ситуации объем правильного тетраэдра необходимо находить по следующей формуле:

Хотя, если Вам известен угол, расположенный между двумя гранями тетраэдра и непосредственно площади данных граней, то решить задачу можно совершенно иным способом. Формула для вычисления объема фигуры будет иметь следующий вид:

  • V = sin<у * 2/3 * (Sα * Sβ)/АВ

Как Вы можете видеть, казалось бы сложная задача, решается формулой, записанной всего лишь одной строчкой.

Иногда могут встречать и другие ситуации. Например, нам дали правильный тетраэдр, вершины которого заданы в декартовой системе координат. Для нахождения объема правильного тетраэдра в этой задаче, необходимо решить матрицу.

В этом случае в качестве первоначального условия нам известны лишь координаты вершин: для первой значения (х1, y1, z1), для второй соответствует значение (x2, у2, z2), для третьей (x3, у3, z3) и соответственно для четвертой (x4, у4, z4).

Формулы между собой достаточно различаются, поэтому прежде чем Вы приступите к решению задачи, внимательно ознакомьтесь с начальными условиями, чтобы выбрать правильную формулу.

Для нахождения объему любого тетраэдра можно использовать общую формулу:

Где а и b являются длинами ребер, которые между собой скрещиваются, а c является расстоянием между прямыми, содержащих их, ? – это угол между прямыми.

Как увеличится объем тетраэдра если ребра увеличить/уменьшить в 2 раза

Поскольку объем вычисляется по формуле:

где а – величина ребра в принятых единицах измерения, то при увеличении ребер в два раза будут составлять 2 в кубе = 8. то есть правильным ответом будет: в восемь раз.

Другими словами увеличение либо уменьшение объема правильного тетраэдра пропорционально кубу увеличения либо уменьшения его ребра.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *