Как посчитать определитель 3 порядка

Вперед

1. Определители. Вычисление определителей 1-го, 2-го и 3-го порядков.
2. Определители n-го порядка.
3. Теорема Лапласа.
4.Применение теоремы Лапласа для вычисления определителей n-го порядка (разложение по строке или столбцу).
4.Свойства определителей.
5.Пример вычисления определителя с помощью свойств.
6.Пример вычисления определителя методом выделения линейных множителей.
7.Пример вычисления определителей методом рекурентных соотношений.

Определители.

Теоретическая часть.
Предполагается, что читателю уже известен такой математический объект как матрица.
Определение:
Матрицей называется множество чисел, записанное в виде таблицы, где каждому числу ( элементу матрицы) соответствует двойной индекс, первая часть которого означает номер строки, в которой расположено это число, а вторая – номер столбца.

Эта таблица чисел заключается в круглые скобки.
Матрица называется квадратной, если количество её строк равно количеству столбцов.
Пример:

матрица А размера 3 на 3, её элемент, например, ( 1-я строка, 2-ой столбец).

Итак, теперь об определителях.
Замечание: Иногда определители называют на английский манер детерминантами, это одно и то же (для тех, кто знает английский язык и подавно).
Определение 1 (простое, для нематематических людей и специальностей):
Определителем матрицы называется некоторая математическая функция элементов квадратной матрицы, результатом которой является число.
Обозначение:
определитель 3- го порядка (т.к. матрица размера 3 на 3) матрицы А.
Замечание: В этом, якобы простом, определении определителя ( звучит как тавтология) говориться, что с элементами матрицы нужно что то сделать ( умножить, сложить, разделить и т.д.) и получится значение определителя этой матрицы. Однако не сказано.

Определители матриц первого, второго и третьего порядков

Что же все-таки надо с ними сделать.

Вычисление определителей первого порядка.
Матрица размера это просто число. Определителем такой матрицы является само это число.
Пример:



Вычисление определителей второго порядка.
Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу:

Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной.
Пример:
.

Вычисление определителей третьего порядка.

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу:

Запомнить порядок сомножителей, конечно же, очень трудно, если не знать визуального представления этого правила, которое называется правило треугольников:

Здесь схематично показано, какие сомножители соседствуют в слагаемых.
Пример:
Вычислить определитель:

Решение:
Воспользуемся правилом треугольников.
Объясним картинку подробно, т.е. распишем каждое слагаемое отдельно:






Итого:

Ответ: 108

Понравилась статья?

Вперед

Пример вычисления определителя (детерминанта) матрицы

Определитель матрицы — является многочленом от элементов квадратной матрицы (если элементы матрицы это числа, тогда определитель матрицы тоже будет числом).

Для нахождения определителя матрицы, исходная матрица должна быть квадратной.

Пример №1

Дана матрица размером 2х2;

Что бы вычислить определитель матрицы 2х2 нужно из произведения элементов главной диагонали, вычесть произведение элементов побочной диагонали;

Ответ: -6

Пример №2

Дана матрица размером 3х3;

Что бы вычислить определитель матрицы 3х3 нужно воспользоваться формулой;


Подставляем наши значения в формулу;

Пример №3

Дана матрица размером 4х4;

Есть два способа вычисления определителя матрицы:

  1. По определению — через разложение по строке или столбцу;
  2. По методу Гаусса — приведение матрицы к треугольному виду (этот способ лучше использовать для решения матриц, размером 4х4 и более).

Решим пример первым способом (по определению — через разложение по строке или столбцу)

Чтобы вычислить определитель матрицы, нужно воспользоваться следующей формулой, в ней рассмотрен пример разложения матрицы по первой строке;

Итак, начнём

  1. Выбираем строку или столбец (любую), лучше всего выбирать строку или столбец, где больше нулей, для удобства вычисления;
    В данном случае мы выбираем третью строку, так как в ней присутствует ноль;

  1. Берём первый элемент этой строки (2);
    Теперь вычёркиваем третью строку и первый столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Согласно формуле, мы умножаем выбранный нами элемент на определитель получившейся матрицы;

Вычисление определителя матрицы 3х3, мы рассматривали в примере №2

  1. Далее делаем всё тоже самое, что и в шаге два, только берём второй элемент данной строки (0) и вычёркиваем третью строку и второй столбец;

Так как этот элемент равен нулю, то ни чего не нужно считать и так всё ясно;

  1. Теперь берём третий элемент строки (6) и вычёркиваем третью строку и третий столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Вычисляем определитель этой матрицы и умножаем на выбранный нами элемент (6)

  1. Берём четвёртый элемент строки (-3) и вычёркиваем третью строку и четвёртый столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Вычисляем определитель этой матрицы и умножаем на выбранный нами элемент (-3)

  1. Чтобы вычислить определитель исходной матрицы, нужно сложить полученные результаты;

Ответ: -1926

Опишем решение примера вторым способом(по методу Гаусса — приведение матрицы к треугольному виду)

Суть способа заключается в том, чтобы перед вычислением определителя, привести матрицу к треугольному виду.

Определитель, детерминант матрицы

Если в ходе приведения матрицы к треугольному виду вы умножаете (делите) строку на число, то на это же число нужно будет умножить (разделить) полученный в конце определитель;

Пример приведения матрицы к треугольному виду мы уже рассматривали здесь

Итак, мы привили матрицу к треугольному виду;

Теперь чтобы вычислить определитель приведённой матрицы, нужно перемножить все элементы, стоящие на главной диагонали;

Ответ: -1926

Дата добавления: 2017-11-01; просмотров: 782; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных |

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Вперед

1. Определители. Вычисление определителей 1-го, 2-го и 3-го порядков.
2. Определители n-го порядка.
3. Теорема Лапласа.
4.Применение теоремы Лапласа для вычисления определителей n-го порядка (разложение по строке или столбцу).
4.Свойства определителей.
5.Пример вычисления определителя с помощью свойств.
6.Пример вычисления определителя методом выделения линейных множителей.
7.Пример вычисления определителей методом рекурентных соотношений.

Определители.

Теоретическая часть.
Предполагается, что читателю уже известен такой математический объект как матрица.
Определение:
Матрицей называется множество чисел, записанное в виде таблицы, где каждому числу ( элементу матрицы) соответствует двойной индекс, первая часть которого означает номер строки, в которой расположено это число, а вторая – номер столбца. Эта таблица чисел заключается в круглые скобки.
Матрица называется квадратной, если количество её строк равно количеству столбцов.
Пример:

матрица А размера 3 на 3, её элемент, например, ( 1-я строка, 2-ой столбец).

Итак, теперь об определителях.
Замечание: Иногда определители называют на английский манер детерминантами, это одно и то же (для тех, кто знает английский язык и подавно).
Определение 1 (простое, для нематематических людей и специальностей):
Определителем матрицы называется некоторая математическая функция элементов квадратной матрицы, результатом которой является число.
Обозначение:
определитель 3- го порядка (т.к.

матрица размера 3 на 3) матрицы А.
Замечание: В этом, якобы простом, определении определителя ( звучит как тавтология) говориться, что с элементами матрицы нужно что то сделать ( умножить, сложить, разделить и т.д.) и получится значение определителя этой матрицы. Однако не сказано. Что же все-таки надо с ними сделать.

Лекция 2 Определители

Вычисление определителей первого порядка.
Матрица размера это просто число. Определителем такой матрицы является само это число.
Пример:



Вычисление определителей второго порядка.
Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу:

Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной.
Пример:
.

Вычисление определителей третьего порядка.

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу:

Запомнить порядок сомножителей, конечно же, очень трудно, если не знать визуального представления этого правила, которое называется правило треугольников:

Здесь схематично показано, какие сомножители соседствуют в слагаемых.
Пример:
Вычислить определитель:

Решение:
Воспользуемся правилом треугольников.
Объясним картинку подробно, т.е. распишем каждое слагаемое отдельно:






Итого:

Ответ: 108

Понравилась статья?

Вперед

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *