Как найти модуль перемещения

До сих пор мы рассматривали только прямолинейное равномерное движение. При этом точечные тела двигались в выбранной системе отсчета либо в положительном, либо в отрицательном направлении оси координат X. Мы установили, что в зависимости от направления движения тела, например, за промежуток времени от момента t1 до момента t2 изменение координаты тела (x2 — x1) может быть положительным, отрицательным или равным нулю (если x2 = x1).

Изменение координаты x2 — x1 принято обозначать символом Δx12 (читается «дельта икс один, два»). Эта запись означает, что за промежуток времени от момента t1 до момента t2 изменение координаты тела Δx12 = x2 — x1. Таким образом, если тело двигалось в положительном направлении оси X выбранной системы координат (x2 > x1), то Δx12 > 0. Если же движение происходило в отрицательном направлении оси X (x21), то Δx12

Результат движения удобно определять с помощью векторной величины. Такой векторной величиной является перемещение.

Перемещением точки за промежуток времени называют направленный отрезок прямой, начало которого совпадает с начальным положением точки, а конец – с конечным положением точки.

Как и любую векторную величину, перемещение характеризуют модулем и направлением.

Записывать вектор перемещения точки за промежуток времени от t1 до t2 мы будем следующим способом: Δx12.

Поясним сказанное на примере. Пусть некоторая точка A (точечное чело) движется в положительном направлении оси X и за промежуток времени от t1 до t2 перемещается из точки с координатой x1 в точку с большей координатой x2 (рис. 44). В этом случае вектор перемещения направлен в положительном направлении оси X, а его модуль равен изменению координаты за рассматриваемый промежуток времени: Δx12 = x2 — x1 = (5 — 2) м = 3 м.

На рис. 45 изображено точечное тело В, которое движется в отрицательном направлении оси X. За промежуток времени от t1 до t2 оно перемещается из точки с большей координатой x1 в точку с меньшей координатой x2. В результате изменение координаты точки B за рассматриваемый промежуток времени Δx12 = x2 — x1 = (2 — 5) м = -3 м. Вектор перемещения в этом случае будет направлен в отрицательном направлении оси X, а его модуль |Δx12| равен 3 м. Из рассмотренных примеров можно сделать следующие выводы.

Направление перемещения при прямолинейном движении в одном направлении совпадает с направлением движения.

Модуль вектора перемещения равен модулю изменения координаты тела за рассматриваемый промежуток времени.

В повседневной жизни для описания конечного результата движения используют понятие «путь». Обычно путь обозначают символом S.

Путь – это все расстояние, пройденное точечным телом за рассматриваемый промежуток времени.

Как и любое расстояние, путь – величина неотрицательная. Например, путь, пройденный точкой A в рассмотренном примере (см. рис. 44), равен трем метрам. Путь, пройденный точкой B, также равен трем метрам.

В рассмотренных примерах (см. рис. 44 и 45) тело все время двигалось в каком-либо одном направлении.

Как найти модуль перемещения в физике?(может есть какая-нибудь универсальная формула?)

Поэтому пройденный им путь равен модулю изменения координаты тела и модулю перемещения: s12 = |Δx12|.

Если тело двигалось все время в одном направлении, то пройденный им путь равен модулю перемещения и модулю изменения координаты.

Ситуация изменится, если тело в течение рассматриваемого промежутка времени изменяет направление движения.

На рис. 46 изображено, как двигалось точечное тело с момента t0 = 0 до момента t2 = 7 с. До момента t1 = 4 с движение происходило равномерно в положительном направлении оси X. В результате чего изменение координаты Δx01 = x1 — x0 = (11 — 3) м = -8 м. После этого тело стало двигаться в отрицательном направлении оси X до момента t2 = 7 с. При этом изменение его координаты Δx12 = x2 — x1 = (5 — 11) м = -6 м. График этого движения приведен на рис. 47.

Определим изменение координаты и перемещение тела за промежуток времени от t0 = 0 до t2 = 7 с. В соответствии с определением изменение координаты Δx02 = x2 — x0 = 2 м > 0. Поэтому перемещение Δx02 направлено в положительном направлении оси Х, а его модуль равен 2 м.

Теперь определим путь, который прошло тело за тот же промежуток времени от t0 = 0 до t2 = 7 с. Сначала тело прошло 8 м в одном направлении (что соответствует модулю изменения координаты Δx01), а затем 6 м в обратном направлении (эта величина соответствует модулю изменения координаты Δx12). Значит, всего тело прошло 8 + 6 = 14 (м). По определению пути за промежуток времени от t0 до t2 тело прошло путь s02 = 14 м.

Разобранный пример позволяет сделать вывод:

В случае, когда тело в течение рассматриваемого промежутка времени меняет направление своего движения, путь (все пройденное телом расстояние) больше и модуля перемещения тела, и модуля изменения координаты тела.

Теперь представьте себе, что тело после момента времени t2 = 7 с продолжило свое движение в отрицательном направлении оси X до момента t3 = 8 с в соответствии с законом, изображенным на рис. 47 пунктирной линией. В результате в момент времени t3 = 8 с координата тела стала равна x3 = 3 м. Нетрудно определить, что в этом случае перемещение тела за промежуток времени от t0 до t3 с равно Δx13 = 0.

Ясно, что если нам известно только перемещение тела за время его движения, то мы не можем сказать как двигалось тело в течение этого времени. Например, если бы о теле было известно только, что его начальная и конечная координаты равны, то мы сказали бы, что за время движения перемещение этого тела равно нулю. Сказать что-либо более конкретное о характере движения этого тела было бы нельзя. Тело могло при таких условиях вообще стоять на месте в течение всего промежутка времени.

Перемещение тела за некоторый промежуток времени зависит только от начальной и конечной координат тела и не зависит от того, как двигалось тело в течение этого промежутка времени.

Итоги

Перемещением точки за промежуток времени называют направленный отрезок прямой, начало которого совпадает с начальным положением точки, а конец – с конечным положением точки.

Перемещение точечного тела определяется только конечной и начальной координатами тела и не зависит от того, как двигалось тело в течение рассматриваемого промежутка времени.

Путь – все расстояние, пройденное точечным телом за рассматриваемый промежуток времени.

Если тело в процессе движения не меняло направления движения, то пройденный этим телом путь равен модулю его перемещения.

Если тело в течение рассматриваемого промежутка времени меняло направление своего движения, путь больше и молуля перемещения тела, и модуля изменения координаты тела.

Путь всегда величина неотрицательная. Он равен нулю только в том случае, если в течение всего рассматриваемого промежутка времени тело покоилось (стояло на месте).

Вопросы

  1. Что такое перемещение? От чего оно зависит?
  2. Что такое путь? От чего он зависит?
  3. Чем путь отличается от перемещения и изменения координаты за один и тот же промежуток времени, в течение которого тело двигалось прямолинейно, не изменяя направления движения?

Упражнения

  1. Используя закон движения в графической форме, представленный на рис. 47, опишите характер движения тела (направление, скорость) в разные промежутки времени: от t0 до t1, от t1 до t2, от t2 до t3.
  2. Собачка Протон выбежала из дома в момент времени t0 = 0, а затем по команде своего хозяина в момент времени t4 = 4 с бросилась обратно. Зная, что Протон все время бежал по прямой и модуль его скорости |v| = 4 м/с, определите графическим способом: а) изменение координаты и путь Протона за промежуток времени от t0 = 0 до t6 = 6 с; б) путь Протона за промежуток времени от t2 = 2 с до t5 = 5 с.

Векторы, действия с векторами

Нахождение длины вектора, примеры и решения.


По определению вектор – это направленный отрезок, а длина этого отрезка в заданном масштабе является длиной вектора. Таким образом, задача нахождения длины вектора на плоскости и в пространстве сводится к нахождению длины соответствующего отрезка. Для решения этой задачи в нашем распоряжении все средства геометрии, хотя в большинстве случаев достаточно теоремы Пифагора. С ее помощью можно получить формулу для вычисления длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат, а также формулу нахождения длины вектора по координатам точек его начала и конца. Когда вектор является стороной треугольника, то его длина может быть найдена по теореме косинусов, если известны длины двух других сторон и угол между ними.


Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора будем обозначать . Аналогичное обозначение имеет модуль числа, и длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координатOxy. Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты . Получим формулу, позволяющую находить длину вектора через координаты и .

Отложим от начала координат (от точки О) вектор . Обозначим проекции точки А на координатные оси как и соответственно и рассмотрим прямоугольник с диагональю ОА.

В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда . Из определения координат вектора в прямоугольной системе координат мы можем утверждать, что и , а по построению длина ОА равна длине вектора , следовательно, .

Таким образом, формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид .

Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты и являются координатами вектора в заданной системе координат.

Рассмотрим пример.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат.

Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :

.

Теперь получим формулу для нахождения длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

Отложим от начала координат вектор и обозначим проекции точки А на координатные оси как и . Тогда мы можем построить на сторонах и прямоугольный параллелепипед, в котором ОА будет диагональю.

В этом случае (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно, .

Таким образом, длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть, находится по формуле .

Вычислите длину вектора , где — орты прямоугольной системы координат.

Нам дано разложение вектора по координатным векторам вида , следовательно, . Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем .

.

К началу страницы

Длина вектора через координаты точек его начала и конца.


А как найти длину вектора, если даны координаты точек его начала и конца?

В предыдущем пункте мы получили формулы для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости и в трехмерном пространстве. Тогда мы можем ими воспользоваться, если найдем координаты вектора по координатам точек его начала и конца.

Таким образом, если на плоскости заданы точки и , то вектор имеет координаты и его длина вычисляется по формуле , а формула для нахождения длины вектора по координатам точек и трехмерного пространства имеет вид .

Рассмотрим решения примеров.

Найдите длину вектора , если в прямоугольной декартовой системе координат .

Перемещение

Можно сразу применить формулу для нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости :

Вторым вариантом решения является определение координат вектора через координаты точек и применение формулы :

.

Определите, при каких значениях длина вектора равна , если .

Длина вектора по координатам точек начала и конца может быть найдена как

Приравняв полученное значение длины вектора к , вычислим искомые :

при .

К началу страницы

Нахождение длины вектора по теореме косинусов.

Большинство задач на нахождение длины вектора решаются в координатах. Однако, когда координаты вектора не известны приходится искать другие пути решения.

Пусть известны длины двух векторов , и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора или . В этом случае можно по теореме косинусов в треугольнике АВС вычислить длину стороны ВС, которая равна искомой длине вектора.

Разберем решение примера для пояснения сказанного.

Длины векторов и равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен . Вычислите длину вектора .

Длина вектора равна длине стороны ВС в треугольнике АВС. Из условия нам известны длины сторон АВ и АС этого треугольника (они равны длинам соответствующих векторов), а также угол между ними, поэтому нам достаточно данных для применения теоремы косинусов:

Таким образом, .

.

Итак, для нахождения длины вектора по координатам используем формулы
или ,
по координатам точек начала и конца вектора —
или ,
в некоторых случаях к результату приводит теорема косинусов.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+

К началу страницы

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

До сих пор мы рассматривали только прямолинейное равномерное движение. При этом точечные тела двигались в выбранной системе отсчета либо в положительном, либо в отрицательном направлении оси координат X. Мы установили, что в зависимости от направления движения тела, например, за промежуток времени от момента t1 до момента t2 изменение координаты тела (x2 — x1) может быть положительным, отрицательным или равным нулю (если x2 = x1).

Изменение координаты x2 — x1 принято обозначать символом Δx12 (читается «дельта икс один, два»). Эта запись означает, что за промежуток времени от момента t1 до момента t2 изменение координаты тела Δx12 = x2 — x1. Таким образом, если тело двигалось в положительном направлении оси X выбранной системы координат (x2 > x1), то Δx12 > 0. Если же движение происходило в отрицательном направлении оси X (x21), то Δx12

Результат движения удобно определять с помощью векторной величины. Такой векторной величиной является перемещение.

Перемещением точки за промежуток времени называют направленный отрезок прямой, начало которого совпадает с начальным положением точки, а конец – с конечным положением точки.

Как и любую векторную величину, перемещение характеризуют модулем и направлением.

Записывать вектор перемещения точки за промежуток времени от t1 до t2 мы будем следующим способом: Δx12.

Поясним сказанное на примере. Пусть некоторая точка A (точечное чело) движется в положительном направлении оси X и за промежуток времени от t1 до t2 перемещается из точки с координатой x1 в точку с большей координатой x2 (рис. 44). В этом случае вектор перемещения направлен в положительном направлении оси X, а его модуль равен изменению координаты за рассматриваемый промежуток времени: Δx12 = x2 — x1 = (5 — 2) м = 3 м.

На рис. 45 изображено точечное тело В, которое движется в отрицательном направлении оси X.

За промежуток времени от t1 до t2 оно перемещается из точки с большей координатой x1 в точку с меньшей координатой x2. В результате изменение координаты точки B за рассматриваемый промежуток времени Δx12 = x2 — x1 = (2 — 5) м = -3 м. Вектор перемещения в этом случае будет направлен в отрицательном направлении оси X, а его модуль |Δx12| равен 3 м. Из рассмотренных примеров можно сделать следующие выводы.

Направление перемещения при прямолинейном движении в одном направлении совпадает с направлением движения.

Модуль вектора перемещения равен модулю изменения координаты тела за рассматриваемый промежуток времени.

В повседневной жизни для описания конечного результата движения используют понятие «путь». Обычно путь обозначают символом S.

Путь – это все расстояние, пройденное точечным телом за рассматриваемый промежуток времени.

Как и любое расстояние, путь – величина неотрицательная. Например, путь, пройденный точкой A в рассмотренном примере (см. рис. 44), равен трем метрам. Путь, пройденный точкой B, также равен трем метрам.

В рассмотренных примерах (см. рис. 44 и 45) тело все время двигалось в каком-либо одном направлении. Поэтому пройденный им путь равен модулю изменения координаты тела и модулю перемещения: s12 = |Δx12|.

Если тело двигалось все время в одном направлении, то пройденный им путь равен модулю перемещения и модулю изменения координаты.

Ситуация изменится, если тело в течение рассматриваемого промежутка времени изменяет направление движения.

На рис. 46 изображено, как двигалось точечное тело с момента t0 = 0 до момента t2 = 7 с. До момента t1 = 4 с движение происходило равномерно в положительном направлении оси X. В результате чего изменение координаты Δx01 = x1 — x0 = (11 — 3) м = -8 м. После этого тело стало двигаться в отрицательном направлении оси X до момента t2 = 7 с. При этом изменение его координаты Δx12 = x2 — x1 = (5 — 11) м = -6 м. График этого движения приведен на рис. 47.

Определим изменение координаты и перемещение тела за промежуток времени от t0 = 0 до t2 = 7 с. В соответствии с определением изменение координаты Δx02 = x2 — x0 = 2 м > 0. Поэтому перемещение Δx02 направлено в положительном направлении оси Х, а его модуль равен 2 м.

Теперь определим путь, который прошло тело за тот же промежуток времени от t0 = 0 до t2 = 7 с. Сначала тело прошло 8 м в одном направлении (что соответствует модулю изменения координаты Δx01), а затем 6 м в обратном направлении (эта величина соответствует модулю изменения координаты Δx12).

Траектория

Значит, всего тело прошло 8 + 6 = 14 (м). По определению пути за промежуток времени от t0 до t2 тело прошло путь s02 = 14 м.

Разобранный пример позволяет сделать вывод:

В случае, когда тело в течение рассматриваемого промежутка времени меняет направление своего движения, путь (все пройденное телом расстояние) больше и модуля перемещения тела, и модуля изменения координаты тела.

Теперь представьте себе, что тело после момента времени t2 = 7 с продолжило свое движение в отрицательном направлении оси X до момента t3 = 8 с в соответствии с законом, изображенным на рис. 47 пунктирной линией. В результате в момент времени t3 = 8 с координата тела стала равна x3 = 3 м. Нетрудно определить, что в этом случае перемещение тела за промежуток времени от t0 до t3 с равно Δx13 = 0.

Ясно, что если нам известно только перемещение тела за время его движения, то мы не можем сказать как двигалось тело в течение этого времени. Например, если бы о теле было известно только, что его начальная и конечная координаты равны, то мы сказали бы, что за время движения перемещение этого тела равно нулю. Сказать что-либо более конкретное о характере движения этого тела было бы нельзя. Тело могло при таких условиях вообще стоять на месте в течение всего промежутка времени.

Перемещение тела за некоторый промежуток времени зависит только от начальной и конечной координат тела и не зависит от того, как двигалось тело в течение этого промежутка времени.

Итоги

Перемещением точки за промежуток времени называют направленный отрезок прямой, начало которого совпадает с начальным положением точки, а конец – с конечным положением точки.

Перемещение точечного тела определяется только конечной и начальной координатами тела и не зависит от того, как двигалось тело в течение рассматриваемого промежутка времени.

Путь – все расстояние, пройденное точечным телом за рассматриваемый промежуток времени.

Если тело в процессе движения не меняло направления движения, то пройденный этим телом путь равен модулю его перемещения.

Если тело в течение рассматриваемого промежутка времени меняло направление своего движения, путь больше и молуля перемещения тела, и модуля изменения координаты тела.

Путь всегда величина неотрицательная. Он равен нулю только в том случае, если в течение всего рассматриваемого промежутка времени тело покоилось (стояло на месте).

Вопросы

  1. Что такое перемещение? От чего оно зависит?
  2. Что такое путь? От чего он зависит?
  3. Чем путь отличается от перемещения и изменения координаты за один и тот же промежуток времени, в течение которого тело двигалось прямолинейно, не изменяя направления движения?

Упражнения

  1. Используя закон движения в графической форме, представленный на рис. 47, опишите характер движения тела (направление, скорость) в разные промежутки времени: от t0 до t1, от t1 до t2, от t2 до t3.
  2. Собачка Протон выбежала из дома в момент времени t0 = 0, а затем по команде своего хозяина в момент времени t4 = 4 с бросилась обратно. Зная, что Протон все время бежал по прямой и модуль его скорости |v| = 4 м/с, определите графическим способом: а) изменение координаты и путь Протона за промежуток времени от t0 = 0 до t6 = 6 с; б) путь Протона за промежуток времени от t2 = 2 с до t5 = 5 с.

Векторы, действия с векторами

Нахождение длины вектора, примеры и решения.


По определению вектор – это направленный отрезок, а длина этого отрезка в заданном масштабе является длиной вектора. Таким образом, задача нахождения длины вектора на плоскости и в пространстве сводится к нахождению длины соответствующего отрезка. Для решения этой задачи в нашем распоряжении все средства геометрии, хотя в большинстве случаев достаточно теоремы Пифагора. С ее помощью можно получить формулу для вычисления длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат, а также формулу нахождения длины вектора по координатам точек его начала и конца. Когда вектор является стороной треугольника, то его длина может быть найдена по теореме косинусов, если известны длины двух других сторон и угол между ними.


Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора будем обозначать .

физический словарик (кинематика)

Аналогичное обозначение имеет модуль числа, и длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координатOxy. Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты . Получим формулу, позволяющую находить длину вектора через координаты и .

Отложим от начала координат (от точки О) вектор . Обозначим проекции точки А на координатные оси как и соответственно и рассмотрим прямоугольник с диагональю ОА.

В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда . Из определения координат вектора в прямоугольной системе координат мы можем утверждать, что и , а по построению длина ОА равна длине вектора , следовательно, .

Таким образом, формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид .

Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты и являются координатами вектора в заданной системе координат.

Рассмотрим пример.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат.

Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :

.

Теперь получим формулу для нахождения длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

Отложим от начала координат вектор и обозначим проекции точки А на координатные оси как и . Тогда мы можем построить на сторонах и прямоугольный параллелепипед, в котором ОА будет диагональю.

В этом случае (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно, .

Таким образом, длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть, находится по формуле .

Вычислите длину вектора , где — орты прямоугольной системы координат.

Нам дано разложение вектора по координатным векторам вида , следовательно, . Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем .

.

К началу страницы

Длина вектора через координаты точек его начала и конца.


А как найти длину вектора, если даны координаты точек его начала и конца?

В предыдущем пункте мы получили формулы для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости и в трехмерном пространстве. Тогда мы можем ими воспользоваться, если найдем координаты вектора по координатам точек его начала и конца.

Таким образом, если на плоскости заданы точки и , то вектор имеет координаты и его длина вычисляется по формуле , а формула для нахождения длины вектора по координатам точек и трехмерного пространства имеет вид .

Рассмотрим решения примеров.

Найдите длину вектора , если в прямоугольной декартовой системе координат .

Можно сразу применить формулу для нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости :

Вторым вариантом решения является определение координат вектора через координаты точек и применение формулы :

.

Определите, при каких значениях длина вектора равна , если .

Длина вектора по координатам точек начала и конца может быть найдена как

Приравняв полученное значение длины вектора к , вычислим искомые :

при .

К началу страницы

Нахождение длины вектора по теореме косинусов.

Большинство задач на нахождение длины вектора решаются в координатах. Однако, когда координаты вектора не известны приходится искать другие пути решения.

Пусть известны длины двух векторов , и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора или . В этом случае можно по теореме косинусов в треугольнике АВС вычислить длину стороны ВС, которая равна искомой длине вектора.

Разберем решение примера для пояснения сказанного.

Длины векторов и равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен . Вычислите длину вектора .

Длина вектора равна длине стороны ВС в треугольнике АВС. Из условия нам известны длины сторон АВ и АС этого треугольника (они равны длинам соответствующих векторов), а также угол между ними, поэтому нам достаточно данных для применения теоремы косинусов:

Таким образом, .

.

Итак, для нахождения длины вектора по координатам используем формулы
или ,
по координатам точек начала и конца вектора —
или ,
в некоторых случаях к результату приводит теорема косинусов.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+

К началу страницы

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

Поиск Лекций

Скалярный квадрат вектора

Что будет, если вектор умножить на самого себя?

Или:

Число называется скалярным квадратом вектора , и обозначатся как .

Таким образом,скалярный квадрат вектораравен квадрату длины данного вектора:

Из данного равенства можно получить формулу для вычисления длины вектора:

Свойства скалярного произведения.

Для произвольных векторов и любого числа справедливы следующие свойства:

1) – переместительный или коммутативный закон скалярного произведения.

2) – распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.

3) – сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения.

Совет 1: Как найти модуль вектора перемещения

Константу можно вынести из скалярного произведения.

Пример

Найти скалярное произведение векторов и , если известно, что .

Решение:

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Раскрываем скобки по правилу умножения многочленов. Раскрыть скобки нам позволяет дистрибутивное свойство скалярного произведения.

(3) В первом и последнем слагаемом компактно записываем скалярные квадраты векторов: . Во втором слагаемом используем перестановочность скалярного произведения: .

(4) Приводим подобные слагаемые: .

(5) В первом слагаемом используем формулу скалярного квадрата , о которой не так давно упоминалось. В последнем слагаемом, соответственно, работает та же штука: . Второе слагаемое раскладываем по стандартной формуле .

(6) Подставляем данные условия , и ВНИМАТЕЛЬНО проводим окончательные вычисления.

Ответ:

Пример

Найти длину вектора , если .

Решение:

(1) Поставляем выражение вектора .

(2) Используем формулу длины: , при этом в качестве вектора «вэ» у нас выступает целое выражение .

(3) Используем школьную формулу квадрата суммы .

(4) Дальнейшее аналогично действиям из двух предыдущих задач.

Ответ:

Угол между векторами

Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол.

.

Пример

Найти угол между векторами и , если известно, что .

Решение: Используем формулу:

На заключительном этапе вычислений использован технический приём – устранение иррациональности в знаменателе. В целях устранения иррациональности я домножил числитель и знаменатель на .

Итак, если , то:

Ответ:

Не забываем указывать размерность – радианы и градусы.

Пример

Даны – длины векторов , и угол между ними . Найти угол между векторами , .

Алгоритм решения:

1) По условию требуется найти угол между векторами и , поэтому нужно использовать формулу .

2) Находим скалярное произведение .

3) Находим длину вектора и длину вектора .

4) Нам известно число , а значит, легко найти и сам угол:

Сделайте самостоятельно и сравните с решением.

Решение: Найдём скалярное произведение:

Найдём длину вектора:

Найдём длину вектора:

Таким образом:

Ответ:

Скалярное произведение векторов,
заданных координатами в ортонормированном базисе

В данном разделе рассматриваются только ортонормированные базисы плоскости и пространства.

Скалярное произведение векторов и , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой

Скалярное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой

То есть, скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

Пример

Найти скалярное произведение векторов:
а) и
б) и , если даны точки

Решение:
а) Здесь даны векторы плоскости. По формуле :

б) Сначала найдём векторы:

По формуле вычислим скалярное произведение:

Ответ:

©2015-2018 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Модуль — перемещение

Cтраница 1

Модули перемещений имеют различный тип привода ( пневматический, гидравлический, электрический), обеспечивают неограниченный угол вращения рабочих звеньев манипуляторов и их прямолинейное движение при длине хода до десятков метров, грузоподъемность от 10 до 100 кг.  

Модуль перемещения детали обеспечивает вспомогательные и основные перемещения горелки, в том числе в начале операции и ее конце при выходе модуля в исходное положение.

"Перемещение. Траектория. Путь" (9-й класс)

Модуль перемещения состоит из механизмов прямолинейного и вращательного перемещений, которые оснащены приводами постоянного тока. Погрешность технологических перемещений составляет 1 мм. Структура модуля перемещения детали позволяет использовать серийные системы ЧПУ.  

Определить модуль перемещения за время, в течение которого тело делает: а) оборот; б) — оборота; в) — оборота.  

Найти модуль перемещения тела через fj 7 0 с после начала действия силы и путь, пройденный телом за это время.  

В модулях вращательного перемещения В, а также модулях Т и Тм используются комбинированные червячно-зуб-чатые редукторы.  

Ахс — модуль перемещения центра инерции системы относительно лодки.  

Установим связь модуля перемещения s тела, совершающего равноускоренное прямолинейное движение, с его скоростью.  

К числу модулей межпозиционных перемещений относятся подвижные основания в напольном Г и в подвесном Ты ( на монорельсе) и двухкоординатном портальном Г2 исполнениях.  

В общем случае модуль перемещения и путь не равны друг другу.  

Для прямолинейного движения модуль перемещения равен пути, пройденному телом.  

Для прямолинейного движения модуль перемещения равен пути, пройденному телом.  

В каких случаях модуль перемещения точки равен длине пути, пройденного точкой за тот же промежуток времени.  

Пройденный путь равен модулю перемещения только в случае прямолинейного движения.  

Fs, где s — модуль перемещения, который в данном случае равен пройденному пути.  

При движении по прямой путь равен модулю перемещения.  

Страницы:      1    2    3    4

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *