Геометрия 7 класс задачи

Геометрия 7 класс

краткое содержание других презентаций

«Свойства и признаки равнобедренного треугольника» — Две стороны и угол между ними. Решение задач. Высоты. Высота. Медианы треугольника. Равносторонний треугольник. Биссектрисы треугольника. Два перпендикуляра. Исследовательская работа. Отрезок биссектрисы угла. Установка. Сумма углов треугольника. Равнобедренный треугольник. Треугольник. Стороны треугольника. Найдите угол. Достройте треугольник своего настроения. Биссектриса треугольника. Контрольные вопросы.

«Основные понятия геометрии» — Определение. Накрест лежащие углы. Биссектрисы. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. Единицы измерения длины. Треугольники равны. Треугольники можно разделить на группы. Смежные и вертикальные углы. Признак параллельности двух прямых. Свойства равнобедренного треугольника. Теорема. Треугольник. Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей. Галилей. Выводы.

«УМК по геометрии» — Параллельные прямые. Аксиомы. Дидактический материал. Методические особенности обучения. Ключевые задачи. Практические задачи. Доказательство теоремы о свойстве точек серединного перпендикуляра. Геометрия вокруг нас. Примерное тематическое планирование. Рубрика «Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте». Большинство задач учебника сгруппированы в пары аналогичных. Строгость изложения. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника.

«Параллельны ли прямые» — Прямые, лежащие в одной плоскости. Рядом идущие. Аксиома параллельных прямых. Мужская голова. Определения параллельных прямых. Построения параллельных прямых. Посидоний. Параллельные прямые в архитектуре. Вопросы.

ГДЗ по геометрии за 7 класс

Способ. Папп. Параллельные прямые. Николай Иванович Лобачевский. Свести параллели к схождению. Способ построения параллельных прямых. Гипотеза. Способ построения. Недостаток информации. Замыкание.

«Начальные геометрические сведения» — Страницы «Начал» Евклида. Используя символы, запишите предложение. Через одну точку можно провести сколько угодно различных прямых. Смерть Архимеда. Планиметрия. В геометрии нет царского пути. Начертите прямые a и b. Обозначение. Тест. Чтение. Платон (477-347 до н.э.) — древнегреческий философ, ученик Сократа. Что говорят фигуры о нас. Какие точки принадлежат прямой. Запись. Проверь себя. Математический диктант.

«Точка, прямая, отрезок» — Отрезок. Через одну точку можно провести множество прямых. Точка, прямая, отрезок. Самостоятельная работа. Применение изученного к решению задач. Приветствие ученикам. Закрепление нового материала. Порядок букв. Как зарождалась геометрия. Подготовка к изучению нового материала. Изучение нового материала. Через две точки можно провести прямую и при том только одну. Постройте прямую. Познакомить учащихся с некоторыми фактами.

Всего в теме «Геометрия 7 класс» 55 презентаций

5klass.net>Геометрия 7 класс>«Задачи по геометрии» 7 класс> Слайд 12

Задачи по геометрии на повторение курса 7 класса

1.

2.

В геометрии выделяют задачи на построение, которые
можно решить только с помощью двух инструментов:
циркуля и линейки без масштабных делений.
Линейка позволяет провести произвольную
прямую, а также построить прямую, проходящую
через две данные точки; с помощью циркуля
можно провести окружность произвольного
радиуса, а также окружность с центром в
данной точке и радиусом, равным данному
отрезку.
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

3.

Построение угла, равного данному.
Дано: угол А.
С
А
E
В
О
D
Теперь докажем, что построенный угол равен данному.

4.

Построение угла, равного данному.
Дано: угол А.
Построили угол О.
С
А
E
В
О
D
Доказать: А = О
Доказательство: рассмотрим треугольники АВС и ОDE.
1. АС=ОЕ, как радиусы одной окружности.
2. АВ=ОD, как радиусы одной окружности.
3. ВС=DE, как радиусы одной окружности.
АВС= ОDЕ (3 приз.) А = О

5.

Построение биссектрисы угла.

6.

Докажем, что луч АВ – биссектриса А
ПЛАН
1. Дополнительное построение.
2. Докажем равенство
треугольников ∆ АСВ и ∆ АDB.
1. АС=АD, как радиусы одной окружности.
2. СВ=DB, как радиусы одной окружности.
3. АВ – общая сторона. ∆АСВ = ∆ АDВ, по III признаку
3. Выводы
А
равенства треугольников
С
В
D
САВ DAB
Луч АВ – биссектриса

7.

Построение
перпендикулярных
прямых.
P
М a
А
М
Q
В
Докажем, что а РМ

8.

М a
P
А
М
В
a
Докажем, что а РМ
1. АМ=МВ, как радиусы одной окружности.
2. АР=РВ, как радиусы одной окружности
АРВ р/б
Q
3. РМ медиана в р/б треугольнике является также ВЫСОТОЙ.
Значит, а РМ.

9.

Построение перпендикулярных прямых.
М a
М
a
Докажем, что а MN
N

10.

Посмотрим
на расположение
циркулей.
АМ=АN=MB=BN,
как равные
радиусы.
МN-общая
сторона.
Докажем, что а MN
М
1
B
2
М a
A
C
a
MВN= MAN,
по трем сторонам
1 = 2
N
В р/б треугольнике АМВ отрезок МС является биссектрисой,
а значит, и высотой. Тогда, а
МN.

11.

Построение
середины отрезка
А
P
В
О
Q
Докажем, что О – середина отрезка АВ.

12.

Докажем, что О –
середина отрезка АВ.
P
1
АРQ = BPQ,
по трем сторонам.
А
2
О
1 = 2
Треугольник АРВ р/б.
Отрезок РО является биссектрисой,
а значит, и медианой.
Q
Тогда, точка О – середина АВ.
В

13.

Построение треугольника по двум
сторонам и углу между ними.
1. Построим луч а.
Дано:
2. Отложим отрезок АВ, равный P1Q1.
3. Построим угол, равный данному.
Отрезки Р1Q1 и Р2Q2
4. Отложим отрезок АС, равный P2Q2.
P1
P2
Q1
Q2
С
h
Угол hk
а
А
D
В
Треугольник АВС искомый. Обоснуй, используя I признак.
k

14.

Построение треугольника по стороне и
двум прилежащим к ней углам.
1. Построим луч а.
Дано:
2. Отложим отрезок АВ, равный P1Q1.
3. Построим угол, равный данному h1k1.
Отрезок Р1Q1
4. Построим угол, равный h2k2 .
P1
С
Q1
h1
h2
k1
а
А
N
D
В
Треугольник АВС искомый. Обоснуй, используя II признак.
Угол h1k1
k2

15.

Построение треугольника по трем сторонам.
Дано:
отрезки
Р1Q1, Р2Q2, P3Q3.
P1
Q1
P2
P3
1. Построим луч а.
2. Отложим отрезок АВ, равный P1Q1.
3. Построим дугу с центром в т. А и
радиусом Р2Q2.
4. Построим дугу с центром в т.В и
радиусом P3Q3.
Q2
С
Q3
А
а
В
Треугольник АВС искомый. Обоснуй, используя III признак.

задачи на построение (геометрия 7 класс)

English     РусскийПравила

Устные задачи по геометрии в 7 классе

Геометрия 7 класс

краткое содержание других презентаций

«Свойства и признаки равнобедренного треугольника» — Две стороны и угол между ними. Решение задач. Высоты. Высота. Медианы треугольника. Равносторонний треугольник. Биссектрисы треугольника. Два перпендикуляра. Исследовательская работа. Отрезок биссектрисы угла. Установка. Сумма углов треугольника. Равнобедренный треугольник. Треугольник. Стороны треугольника. Найдите угол. Достройте треугольник своего настроения. Биссектриса треугольника. Контрольные вопросы.

«Основные понятия геометрии» — Определение. Накрест лежащие углы. Биссектрисы. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. Единицы измерения длины. Треугольники равны. Треугольники можно разделить на группы. Смежные и вертикальные углы. Признак параллельности двух прямых. Свойства равнобедренного треугольника. Теорема. Треугольник. Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей. Галилей. Выводы.

«УМК по геометрии» — Параллельные прямые. Аксиомы. Дидактический материал. Методические особенности обучения. Ключевые задачи. Практические задачи. Доказательство теоремы о свойстве точек серединного перпендикуляра. Геометрия вокруг нас. Примерное тематическое планирование. Рубрика «Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте». Большинство задач учебника сгруппированы в пары аналогичных. Строгость изложения. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника.

«Параллельны ли прямые» — Прямые, лежащие в одной плоскости. Рядом идущие. Аксиома параллельных прямых. Мужская голова. Определения параллельных прямых. Построения параллельных прямых. Посидоний. Параллельные прямые в архитектуре. Вопросы. Способ. Папп. Параллельные прямые. Николай Иванович Лобачевский. Свести параллели к схождению. Способ построения параллельных прямых. Гипотеза. Способ построения. Недостаток информации. Замыкание.

«Начальные геометрические сведения» — Страницы «Начал» Евклида. Используя символы, запишите предложение. Через одну точку можно провести сколько угодно различных прямых. Смерть Архимеда. Планиметрия. В геометрии нет царского пути. Начертите прямые a и b. Обозначение. Тест. Чтение. Платон (477-347 до н.э.) — древнегреческий философ, ученик Сократа. Что говорят фигуры о нас. Какие точки принадлежат прямой. Запись. Проверь себя. Математический диктант.

«Точка, прямая, отрезок» — Отрезок. Через одну точку можно провести множество прямых. Точка, прямая, отрезок. Самостоятельная работа. Применение изученного к решению задач. Приветствие ученикам. Закрепление нового материала. Порядок букв. Как зарождалась геометрия. Подготовка к изучению нового материала. Изучение нового материала. Через две точки можно провести прямую и при том только одну. Постройте прямую. Познакомить учащихся с некоторыми фактами.

Всего в теме «Геометрия 7 класс» 55 презентаций

5klass.net>Геометрия 7 класс>«Задачи по геометрии» 7 класс> Слайд 12

ГДЗ по геометрии для 7 класса

  • Геометрия 7 класс
  • автор: А.В. Погорелов
  • издательство: Просвещение
    • Геометрия 7 класс
    • авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев
    • издательство: Просвещение
      • Геометрия 7 класс дидактические материалы
      • авторы: Б.Г. Зив, В.М. Мейлер
      • издательство: Просвещение
        • Геометрия 7 класс рабочая тетрадь
        • авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков, И.И. Юдина
        • издательство: Просвещение
          • Геометрия 7 класс дидактические материалы
          • авторы: В.А. Гусев, А.И. Медяник
          • издательство: Просвещение
            • Геометрия 7 класс
            • авторы: И. М. Смирнова, В. А. Смирнов
            • издательство: Мнемозина
              • Геометрия 7 класс
              • авторы: Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И., Ходот Т.Г.
              • издательство: Просвещение
                • Геометрия 7 класс
                • авторы: Бутузов С.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В.
                • издательство: Просвещение
                  • Геометрия 7 класс
                  • автор: Шарыгин И.Ф.
                  • издательство: Дрофа
                  • Часто ищут

                    • Алгебра 7 класс
                    • авторы: С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин
                    • издательство: Просвещение
                    • Обществознание 7 класс
                    • авторы: Л.Н. Боголюбов, Л.Ф. Иванова
                    • издательство: Просвещение
                      • Алгебра 7 класс
                      • авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И.
                      • "Начальное обучение решению геометрических задач на доказательство" 7 класс

                        Нешков, С.Б. Суворова

                      • издательство: Просвещение
                        • Геометрия 7 класс
                        • автор: А.В. Погорелов
                        • издательство: Просвещение
                          • История 7 класс
                          • авторы: Данилов Д.Д., Лисейцев Д.В., Павлова Н.С., Рогожкин В.А.
                          • издательство: Баласс
                            • Английский язык 7 класс рабочая тетрадь
                            • авторы: Ю.Е. Ваулина, Дж. Дули, О.Е. Подоляко, В. Эванс
                            • издательство: Просвещение
                              • История 7 класс
                              • авторы: А.А. Данилов, Л.Г. Косулина
                              • издательство: Просвещение
                                • Химия 7 класс рабочая тетрадь
                                • авторы: О.С. Габриелян, Г.А. Шипарёва
                                • издательство: Дрофа
                                  • Английский язык 7 класс
                                  • авторы: Кузовлев В.П., Перегудова Э.Ш., Лапа Н.М.
                                  • издательство: Просвещение
                                  • Онлайн учебник

                                    Дорогие семиклассники

                                    Вы начинаете изучать новый предмет — геометрию и будете заниматься ею пять лет. Что это такое — геометрия?

                                    Геометрия — одна из самых древних наук, она возникла очень давно, ещё до нашей эры. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео» —по-гречески земля, а «метрео» — мерить). Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, проведении дорог, строительстве зданий и других сооружений. В результате этой деятельности появились и постепенно накапливались различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями. Таким образом, геометрия возникла на основе практической деятельности людей, а в дальнейшем сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.

                                    На уроках математики вы познакомились с некоторыми геометрическими фигурами и представляете себе, что такое точка, прямая, отрезок, луч, угол (рис. 1), как они могут быть расположены относительно друг друга. Вы знакомы с такими фигурами, как треугольник, прямоугольник, окружность, круг и др. (рис. 2); знаете, как измеряются отрезки с помощью линейки с миллиметровыми делениями и как измеряются углы с помощью транспортира. Но всё это лишь самые первые геометрические сведения. Теперь вам предстоит расширить и углубить ваши знания о геометрических фигурах. Вы познакомитесь с новыми фигурами и со многими важными и интересными свойствами уже известных вам фигур. Вы узнаете о том, как используются свойства геометрических фигур в практической деятельности. Во всём этом вам поможет учебник и, конечно, учитель.

                                    Школьный курс геометрии делится на планиметрию и стереометрию. В планиметрии рассматриваются свойства фигур на плоскости. Примерами таких фигур являются отрезки, треугольники, прямоугольники. В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве, таких, как параллелепипед, шар, цилиндр (рис. 3). Мы начнём изучение геометрии с планиметрии.

                                    В процессе изучения геометрии вы будете доказывать теоремы и решать задачи.

                                    "Начальное обучение решению геометрических задач на доказательство" 7 класс

                                    Что такое «теорема» и что значит «доказать теорему» — об этом вы скоро узнаете. Ну а что такое задача — вам известно, на уроках математики вы решали разные задачи.

                                    В нашем учебнике геометрии много задач: есть задачи и практические задания к каждому параграфу, дополнительные задачи к каждой главе и, наконец, задачи повышенной трудности. Основными являются задачи к параграфу. Более трудные задачи отмечены звёздочкой. Задачи, отмеченные знаком , имеют электронную версию. В конце книги к задачам даны ответы и указания.

                                    Всем, кто проявит интерес к геометрии, кому понравится решать задачи и доказывать теоремы, мы советуем порешать не только обязательные задачи, но и задачи со звёздочкой, дополнительные задачи и задачи повышенной трудности. Решать такие задачи непросто, но интересно. Не всегда удаётся сразу найти решение. В таком случае не унывайте, а проявите терпение и настойчивость. Радость от решения трудной задачи будет вам наградой за упорство. Не бойтесь заглядывать вперёд, читать те параграфы, которые ещё не проходили в классе. Задавайте вопросы учителю, товарищам, родителям.

                                    Доброго вам пути, ребята!

                                     

                                    Вопрос 1. Докажите первый признак равенства треугольников. Какие аксиомы используются при доказательстве теоремы 3.1?
                                    Ответ. Первый признак равенства треугольников — Теорема 3.1. (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
                                    Доказательство.
                                    Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 угол A= углу A1, AB=A1B1, AC=A1C1(рис. 44).

                                    Рис. 44.
                                    Докажем, что треугольники равны.

                                    Пусть A1B2C2- треугольник, равный треугольникуABC, с вершиной B2 на луче A1B1 и вершиной C2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина C1 (рис. 45, а).

                                    Так как A1B1=A1B2, то вершина B2 совпадает с вершиной B1 (рис. 45, б). Так как угол B1A1C1= углу B2A1C2, то луч A1C2 совпадает с лучом A1C1 (рис. 45, в). Так как A1C1=A1C2, то вершина C2 совпадает с вершиной C1 (рис. 45, г).
                                    Итак, треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.
                                    В начале доказательства рисуют треугольник A1B2C2 равный треугольнику ABC с вершиной B2 на луче A1B1 и вершиной C2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина C1 (рис. 45, а). Такой треугольник существует по аксиоме о существовании треугольника, равного данному (каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой).
                                    Затем утверждается совпадение вершин B1 и B2 на том основании, что A1B1 = A1B2. Здесь используется аксиома откладывания отрезков (на любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один).
                                    Далее утверждается совпадение лучей A1C2 и A1C1 на том основании, что \(\angle\)B2A1C1 = \(\angle\)B2A1C2. Здесь используется аксиома откладывания углов (от любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один).
                                    Наконец, утверждается совпадение вершин C1 и C2, так как A1C1 = A2C2. Здесь снова используется аксиома откладывания отрезков (на любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один).
                                    Итак, при доказательстве теоремы 3.1 используются аксиомы откладывания отрезков и углов и аксиома о существовании треугольника, равного данному.

                                    Вопрос 2. Сформулируйте и докажите второй признак равенства треугольников.
                                    Ответ. Второй признак равенства треугольников — Теорема 3.2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и  прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
                                    Доказательство. Пусть ABC и A1B1C1 — два треугольника, у которых AB= A1B1, угол A= углу A1 и угол B= углу B1(рис. 47).

                                    Докажем, что треугольники равны.
                                    Пусть A1B2C2- треугольник, равный треугольнику ABC, с вершиной B2 на луче A1B1 и вершиной C2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина C1.
                                    Так как A1B2=A1B1, то вершина B2 совпадает с вершиной B1. Так как угол B1A1C2= углу B1A1C1 и угол A1B1C2 = углу A1B1C1, то луч A1C2 совпадает с лучом A1C1, а луч B1C2 совпадает с лучом B1C1. Отсюда следует, что вершина C2 совпадает с вершиной C1.
                                    Итак, треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, а  значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.

                                    Вопрос 3. Какой треугольник называется равнобедренным? Какие стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами? Какая сторона называется основанием?
                                    Ответ. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

                                    Вопрос 4.  Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
                                    Ответ. Теорема 3.3 (свойство углов равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
                                    Доказательство. Пусть ABC- равнобедренный треугольник с основанием AB (рис. 48). Докажем, что у него угол A= углу B.

                                    Треугольник CAB равен треугольнику CBA по первому признаку равенства треугольников. Действительно, CA= CB, CB= CA, угол C= углу C. Из равенства треугольников следует, что угол A= углу B. Теорема доказана.

                                    Вопрос 5. Какой треугольник называется равносторонним?
                                    Ответ. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

                                    Вопрос 6. Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
                                    Ответ. Теорема 3.4 (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
                                    Доказательство.
                                    Пусть ABC – треугольник, в котором угол A= углу B (рис. 50). Докажем, что он равнобедренный с основанием AB.

                                    Треугольник ABC равен треугольнику BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно, AB=BA, угол B= углу A, угол A= углу B. Из равенства треугольников следует, что AC= BC. Значит, по определению треугольник ABC равнобедренный. Теорема доказана.

                                    Вопрос 7. Объясните, что такое обратная теорема. Приведите пример. Для всякой ли теоремы верна обратная?
                                    Ответ. Теорема 3.4 называется обратной теореме 3.3. Заключение теоремы 3.3 является условием теоремы 3.4. А условие теоремы 3.3 является заключением теоремы 3.4. Не всякая теорема имеет обратную, то есть если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна. Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.

                                    Вопрос 8. Что такое высота треугольника?
                                    Ответ. Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника (рис. 51, а-б).

                                    Вопрос 9. Что такое биссектриса треугольника?
                                    Ответ. Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне  (рис. 52, а).

                                    Вопрос 10. Что такое медиана треугольника?
                                    Ответ. Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 52, б).

                                    Вопрос 11.

                                    Задачи по теме "Треугольники". Геометрия, 7 класс

                                    Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
                                    Ответ. Теорема 3.5 (свойство медианы равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
                                    Доказательство.
                                    Пусть ABC – данный равнобедренный треугольник с основанием AB и CD – медиана, проведённая к основанию (рис. 53).

                                    Треугольники CAD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны AC и BC равны, потому что треугольник ABC равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Сторона AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB.)
                                    Из  равенства треугольников следует равенство углов: угол ACD = углу BCD, угол ADC = углу BDC. Так как углы ACD и BCD равны, то CD – биссектриса. Так как углы ADC и BDC смежные и равны, то они прямые, поэтому CD – высота треугольника.

                                    Вопрос 12.  Докажите третий признак равенства треугольников.
                                    Ответ. Третий признак равенства треугольников — Теорема 3.6 (признак равенства треугольников по трём сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

                                    Доказательство. Пусть ABC и A1B1C1 – два треугольника, у которых AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1(рис. 55).

                                    Требуется доказать, что треугольники равны.
                                    Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол A не = углу A1, угол B не = углу B1, угол C не = углу C1. Иначе они были бы равны по первому признаку.
                                    Пусть A1B1C2 – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1 (см. рис. 55).
                                    Пусть D – середина отрезка C1C2. Треугольники A1C1C2  и B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. Прямые A1D и B1D не совпадают, так как точки A1, B1, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

                                    Добавить комментарий

                                    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *