Чему равна высота равностороннего треугольника

3 метода:

Для вычисления площади треугольника вам необходимо знать его высоту. Если она не дана, вы можете вычислить ее по известным вам величинам! В этой статье мы расскажем о нескольких способах найти высоту треугольника по известным значениям других величин.

Шаги

1 Как найти высоту по основанию и площади

  1. 1 Напомним формулу для вычисления площади треугольника. Площадь треугольника вычисляется по формуле: A = 1/2bh.
    • А — площадь треугольника
    • b — сторона треугольника, на которую опущена высота.
    • h — высота треугольника
    • 2 Посмотрите на треугольник и подумайте, какие величины вам уже известны. Если вам дана площадь, обозначьте ее буквой «А» или «S». Вам также должно быть дано значение стороны, обозначьте ее буквой «b». Если вам не дана площадь и не дана сторона, воспользуйтесь другим методом.
      • Имейте в виду, что основанием треугольника может быть любая его сторона, на которую опущена высота (независимо от того, как расположен треугольник). Чтобы лучше понять это, представьте, что вы можете повернуть этот треугольник. Поверните его так, чтобы известная вам сторона была обращена вниз.
      • Например, площадь треугольника равна 20, а одна из его сторон равна 4. В этом случае ""А = 20"", ""b = 4"".
      • 3 Подставьте данные вам значения в формулу для вычисления площади (А = 1/2bh) и найдите высоту. Сначала умножьте сторону (b) на 1/2, а затем разделите площадь (А) на полученное значение. Таким образом, вы найдете высоту треугольника.

        • В нашем примере: 20 = 1/2(4)h
        • 20 = 2h
        • 10 = h

        2 Как найти высоту в равностороннем треугольнике

        1. 1 Вспомните свойства равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60˚). Если в таком треугольнике провести высоту, вы получите два равных прямоугольных треугольника.
          • Например, рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 8.
          • 2 Вспомните теорему Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в любом прямоугольном треугольнике с катетами «а» и «b» гипотенуза «с» равна: a2+b2=c2. Эту теорему можно использовать, чтобы найти высоту равностороннего треугольника!
          • 3 Разделите равносторонний треугольник на два прямоугольных треугольника (для этого проведите высоту). Затем обозначьте стороны одного из прямоугольных треугольников. Боковая сторона равностороннего треугольника – это гипотенуза «с» прямоугольного треугольника. Катет «а» равен 1/2 стороне равностороннего треугольника, а катет «b» – это искомая высота равностороннего треугольника.
            • Итак, в нашем примере с равносторонним треугольником с известной стороной, равной 8: c = 8 и a = 4.
            • 4 Подставьте эти значения в теорему Пифагора и вычислите b2. Сначала возведите в квадрат «с» и «а» (умножьте каждое значение само на себя). Затем вычтите a2 из c2.
              • 42 + b2 = 82
              • 16 + b2 = 64
              • b2 = 48
              • 5 Извлеките квадратный корень из b2, чтобы найти высоту треугольника. Для этого воспользуйтесь калькулятором. Полученное значение и будет высотой вашего равностороннего треугольника!

              3 Как найти высоту с помощью углов и сторон

              1. 1 Подумайте, какие значения вам известны. Вы можете найти высоту треугольника, если вам известны значения сторон и углов. Например, если известен угол между основанием и боковой стороной. Или если известны значения всех трех сторон. Итак, обозначим стороны треугольника: «a», «b», «c», углы треугольника: «А», «В», «С», а площадь — буквой «S».

                Как найти сторону равностороннего треугольника зная площадь

                • Если вам известны все три стороны, вам понадобится значение площади треугольника и формула Герона.
                • Если вам известны две стороны и угол между ними, можете использовать следующую формулу для нахождения площади: S=1/2ab(sinC).
                • 2 Если вам даны значения всех трех сторон, используйте формулу Герона. По этой формуле придется выполнить несколько действий. Сначала нужно найти переменную «s» (мы обозначим этой буквой половину периметра треугольника). Для этого подставьте известные значения в эту формулу: s = (a+b+c)/2.
                  • Для треугольника со сторонами а = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. В результате получается: s=12/2, где s=6.
                  • Затем вторым действием мы находим площадь (вторая часть формулы Герона). Площадь = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Вместо слова «площадь» вставьте эквивалентную формулу для поиска площади: 1/2bh (или 1/2ah, или 1/2ch).
                  • Теперь найдите эквивалентное выражение для высоты (h). Для нашего треугольника будет справедливо следующее уравнение: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Где 3/2h=√(6(2(3(1))). Получается, 3/2h = √(36). С помощью калькулятора вычислите квадратный корень. В нашем примере: 3/2h = 6. Получается, что высота (h) равна 4, сторона b – основание.
                  • 3 Если по условию задачи известны две стороны и угол, вы можете использовать другую формулу. Замените площадь в формуле эквивалентным выражением: 1/2bh. Таким образом, у вас получится следующая формула: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Ее можно упростить до следующего вида: h = a(sin C), чтобы убрать одну неизвестную переменную.
                    • Теперь осталось решить полученное уравнение. Например, пусть «а» = 3, «С» = 40 градусов. Тогда уравнение будет выглядеть так: «h» = 3(sin 40). С помощью калькулятора и таблицы синусов подсчитайте значение «h». В нашем примере h = 1,928.

                    Прислал: DarK_Knigt . 2017-11-06 17:18:57

                    Ссылки по теме:

                    Коротко о главном Начальный уровень

                    Равносторонний треугольник. Начальный уровень.

                    Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны: .

                    • В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны .
                    • В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины
                    • Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.
                    • Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка .
                    • В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной: .

                    В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны :

                    • Высота=медиане=биссектрисе
                    • Радиус описанной окружности
                    • Радиус вписанной окружности
                    • Площадь
                    • Периметр
                    Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.

                    Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?

                    Прежде чем говорить о свойствах напомним, что у нас ты можешь сдать пробный ЕГЭ в онлайне и получить результаты немедленно.

                    Равносторонний треугольник. Свойства.

                    Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны .

                    Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме , значит, каждый по .

                    Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

                    Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник:

                    Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

                    Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром! В равностороннем треугольнике оказалось не  особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

                    Итак, ещё раз:

                    Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.
                    Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной.

                    Уже должно быть очевидно, отчего так.

                    Посмотри на рисунок: точка  – центр треугольника. Значит,  – радиус описанной окружности (обозначили его ), а  – радиус вписанной окружности (обозначим ). Но ведь точка  – ещё и точка пересечения медиан!

                    Сторона равностороннего треугольника

                    Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины. Поэтому , то есть .

                    Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

                    Давай удостоверимся в этом.

                    Равносторонний треугольник. Высота

                    Почему?

                    Рассмотрим  – он прямоугольный.

                    Равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности

                    А это почему? Мы уже выяснили, что точка  – не только центр описанной окружности, но и точка пересечения медиан. Значит, .

                    Величину  мы уже находили. Теперь подставляем:

                    Равносторонний треугольник. Радиус вписанной окружности

                    Это уже теперь должно быть совсем ясно

                    Ну вот, все основные сведения обсудили. Конечно, можно задавать сотни вопросов про всякие длины всяких отрезков в равностороннем треугольнике. Но главное, что следует иметь в виду, решая задачки о равностороннем треугольнике, – это то, что все его углы известны – равны  и все высоты являются и биссектрисами, и медианами, и серединными перпендикулярами.

                    Комментарии

                    3 метода:

                    Для вычисления площади треугольника вам необходимо знать его высоту. Если она не дана, вы можете вычислить ее по известным вам величинам! В этой статье мы расскажем о нескольких способах найти высоту треугольника по известным значениям других величин.

                    Шаги

                    1 Как найти высоту по основанию и площади

                    1. 1 Напомним формулу для вычисления площади треугольника. Площадь треугольника вычисляется по формуле: A = 1/2bh.
                      • А — площадь треугольника
                      • b — сторона треугольника, на которую опущена высота.
                      • h — высота треугольника
                      • 2 Посмотрите на треугольник и подумайте, какие величины вам уже известны. Если вам дана площадь, обозначьте ее буквой «А» или «S». Вам также должно быть дано значение стороны, обозначьте ее буквой «b». Если вам не дана площадь и не дана сторона, воспользуйтесь другим методом.
                        • Имейте в виду, что основанием треугольника может быть любая его сторона, на которую опущена высота (независимо от того, как расположен треугольник). Чтобы лучше понять это, представьте, что вы можете повернуть этот треугольник. Поверните его так, чтобы известная вам сторона была обращена вниз.
                        • Например, площадь треугольника равна 20, а одна из его сторон равна 4. В этом случае ""А = 20"", ""b = 4"".
                        • 3 Подставьте данные вам значения в формулу для вычисления площади (А = 1/2bh) и найдите высоту. Сначала умножьте сторону (b) на 1/2, а затем разделите площадь (А) на полученное значение. Таким образом, вы найдете высоту треугольника.
                          • В нашем примере: 20 = 1/2(4)h
                          • 20 = 2h
                          • 10 = h

                          2 Как найти высоту в равностороннем треугольнике

                          1. 1 Вспомните свойства равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60˚). Если в таком треугольнике провести высоту, вы получите два равных прямоугольных треугольника.
                            • Например, рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 8.
                            • 2 Вспомните теорему Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в любом прямоугольном треугольнике с катетами «а» и «b» гипотенуза «с» равна: a2+b2=c2. Эту теорему можно использовать, чтобы найти высоту равностороннего треугольника!
                            • 3 Разделите равносторонний треугольник на два прямоугольных треугольника (для этого проведите высоту). Затем обозначьте стороны одного из прямоугольных треугольников. Боковая сторона равностороннего треугольника – это гипотенуза «с» прямоугольного треугольника. Катет «а» равен 1/2 стороне равностороннего треугольника, а катет «b» – это искомая высота равностороннего треугольника.
                              • Итак, в нашем примере с равносторонним треугольником с известной стороной, равной 8: c = 8 и a = 4.
                              • 4 Подставьте эти значения в теорему Пифагора и вычислите b2. Сначала возведите в квадрат «с» и «а» (умножьте каждое значение само на себя). Затем вычтите a2 из c2.
                                • 42 + b2 = 82
                                • 16 + b2 = 64
                                • b2 = 48
                                • 5 Извлеките квадратный корень из b2, чтобы найти высоту треугольника. Для этого воспользуйтесь калькулятором. Полученное значение и будет высотой вашего равностороннего треугольника!

                                3 Как найти высоту с помощью углов и сторон

                                1. 1 Подумайте, какие значения вам известны. Вы можете найти высоту треугольника, если вам известны значения сторон и углов. Например, если известен угол между основанием и боковой стороной. Или если известны значения всех трех сторон. Итак, обозначим стороны треугольника: «a», «b», «c», углы треугольника: «А», «В», «С», а площадь — буквой «S».
                                  • Если вам известны все три стороны, вам понадобится значение площади треугольника и формула Герона.
                                  • Если вам известны две стороны и угол между ними, можете использовать следующую формулу для нахождения площади: S=1/2ab(sinC).
                                  • 2 Если вам даны значения всех трех сторон, используйте формулу Герона. По этой формуле придется выполнить несколько действий. Сначала нужно найти переменную «s» (мы обозначим этой буквой половину периметра треугольника). Для этого подставьте известные значения в эту формулу: s = (a+b+c)/2.
                                    • Для треугольника со сторонами а = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. В результате получается: s=12/2, где s=6.
                                    • Затем вторым действием мы находим площадь (вторая часть формулы Герона). Площадь = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Вместо слова «площадь» вставьте эквивалентную формулу для поиска площади: 1/2bh (или 1/2ah, или 1/2ch).
                                    • Теперь найдите эквивалентное выражение для высоты (h). Для нашего треугольника будет справедливо следующее уравнение: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Где 3/2h=√(6(2(3(1))). Получается, 3/2h = √(36). С помощью калькулятора вычислите квадратный корень. В нашем примере: 3/2h = 6. Получается, что высота (h) равна 4, сторона b – основание.
                                    • 3 Если по условию задачи известны две стороны и угол, вы можете использовать другую формулу. Замените площадь в формуле эквивалентным выражением: 1/2bh. Таким образом, у вас получится следующая формула: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Ее можно упростить до следующего вида: h = a(sin C), чтобы убрать одну неизвестную переменную.
                                      • Теперь осталось решить полученное уравнение.

                                        Например, пусть «а» = 3, «С» = 40 градусов. Тогда уравнение будет выглядеть так: «h» = 3(sin 40).

                                        Все формулы для треугольника

                                        С помощью калькулятора и таблицы синусов подсчитайте значение «h». В нашем примере h = 1,928.

                                      Прислал: DarK_Knigt . 2017-11-06 17:18:57

                                      Ссылки по теме:

                                      Геометрия раздел математики, изучающий пространственные формы, а также их измерение и расположение относительно друг друга. Геометрия как наука получила своё название и систематизацию знаний в Греции (около двух с половиной тысяч лет назад).

                                      Вычисление площадей фигур одна из самых распространённых задач, которые решает геометрия (чаще всего вопрос определения площади становится актуальным в процессе строительства). В качестве примера попробуем найти площадь треугольника, если известны все стороны.

                                      Для определения площади треугольника могут использоваться различные формулы, исходя из имеющихся данных. В случае, когда известны длины всех сторон треугольника, его площадь может быть вычислена по формуле Герона.

                                      Быстрая навигация по статье

                                      Формула Герона

                                      Для вычисления площади треугольника по длинам его сторон используется одна из самых древнейших в геометрии формул формула Герона, названная в честь выдающегося древнегреческого математика Герона Александрийского (I век н.э.).

                                      Как найти сторону у равносторонем треугольнике зная ее высоту 3 см

                                      Площадь треугольника по этой формуле вычисляется как корень квадратный из произведения полупериметра треугольника и разностей полупериметра с каждой из сторон треугольника:

                                      S = √p(p-a)(p-b)(p-c), где:

                                      • S площадь треугольника;
                                      • a, b, и c длины сторон треугольника,
                                      • р = (a + b + c) / 2 полупериметр треугольника.

                                      Пример:

                                      Дан треугольник со сторонами а = 6см, b = 8см, с = 10см.

                                      Первоначально необходимо вычислить полупериметр треугольника:

                                      р = (6 + 8 +10) / 2 = 12см

                                      Далее, используя площадь Герона, можно найти площадь треугольника:

                                      S = √12(12-6)(12-8)(12-10) = √12*6*4*2 = √576 = 24 см.

                                      Другие формулы

                                      В зависимости от имеющихся данных, для вычисления площади треугольника могут использоваться другие формулы. Площадь треугольника равна:

                                      • Половине произведения двух сторон на синус угла между ними;
                                      • Половине произведения длины стороны треугольника, принятой за основание и длины высоты треугольника;
                                      • Половине произведения длин катетов (для прямоугольного треугольника).

                                      Поделитесь этой статьёй с друзьями в соц. сетях:


                                      Добавить комментарий

                                      Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *