Чему равна сумма углов равнобедренной трапеции

Четырехугольники

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и
невыпуклые (A1B1C1D1).

Виды четырёхугольников

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

• противолежащие стороны равны;
• противоположные углы равны;
• диагонали точкой пересечения делятся пополам;
• сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
• сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.
2. Противоположные стороны попарно равны.
3. Противоположные углы попарно равны.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

• ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
• если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
• если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
• если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признаки трапеции

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если:

1. Один из его углов прямой.
2. Его диагонали равны.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

Признаки ромба

1. Параллелограмм является ромбом, если:
2. Две его смежные стороны равны.
3. Его диагонали перпендикулярны.
4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

• все углы квадрата прямые;
• диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Основные формулы

1. Произвольный выпуклый четырехугольник
   d1, d2 — диагонали; — угол между ними; S — площадь.
2. Параллелограмм
   a и b — смежные стороны; — угол между ними; ha — высота, проведенная к стороне a.
3. Трапеция
   a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия.
   
4. Прямоугольник
5. Ромб
   
6. Квадрат
   d — диагональ.

Сумма углов трапеции

 

Четырехугольник – это фигура, состоящая из четырех точек, которые последовательно соединены четырьмя отрезками. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки – сторонами четырехугольника.

 

 

Параллелограмм.

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны (рис.1).

 

 

Теорема:

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

 

 

 

 

Свойства параллелограмма:

1) У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны. 2) Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 3) Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: d12 + d22 = 2(a2 + b2), где d1 и d2 – диагонали параллелограмма, a и b – смежные стороны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прямоугольник.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые (рис.2.1).

 

 

Свойства прямоугольника:

1) Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами (рис.2.2). 2) Диагонали прямоугольника равны (рис.2.3). 3) Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам (рис.2.3). 3) Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (по теореме Пифагора, рис.2.4): c2 = a2 + b2 4) Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности (радиус равен полудиагонали).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ромб.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны (рис.3.1).

 

 

Свойства ромба:

1) Противолежащие стороны ромба равны; противолежащие углы равны. 2) Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180º. 3) Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам (рис.3.2). 4) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. 5) Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон: d12 + d22 = 4a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квадрат.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны (рис.4.1).

Другое определение:

Квадрат – это ромб, у которого все углы прямые.

Квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.

 

 

Свойства квадрата:

1) У квадрата все углы прямые (рис.4.1). 2) Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов квадрата (рис.4.2). 3) Диагональ квадрата равна произведению его стороны на √2 (рис.4.3): d = a√2. 4) Около квадрата можно описать окружность. Диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата (рис.4.4). 5) В квадрат можно вписать окружность. Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата (рис.4.5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Трапеция.

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны (рис.5).

Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Высотой трапеции называется отрезок, соединяющий основания под прямым углом.

 

 

Общие свойства трапеции:

1) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. 2) Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований. 3) Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший – полусумме оснований. 4) У равнобокой трапеции углы при основании равны. 5) В трапецию можно вписать окружность только в том случае, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон. 6) Радиус вписанной окружности равен квадратному корню отрезков боковой стороны, на которые делит эту сторону вписанная окружность точкой касания: r = √a1a2 7) Высота описанной трапеции равна диаметру вписанной окружности. 8) Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики. 9) Свойство четырех точек: в трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжения боковых сторон, середины оснований трапеции лежат на одной линии. 10) Отрезок, разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований. 11) Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции:

1) Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший – полусумме оснований. 2) Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции. 3) В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны. 4) В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны. 5) Только равнобедренную трапецию можно вписать в окружность. 6) Вписанная окружность делит боковые стороны равнобедренной трапеции на два отрезка, корень произведения которых равен радиусу вписанной окружности: r = √ab 7) Около равнобедренной трапеции можно описать окружность. 8) Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Другие свойства трапеции:

 

Как найти углы трапеции?

Четырехугольники

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и
невыпуклые (A1B1C1D1).

Виды четырёхугольников

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

• противолежащие стороны равны;
• противоположные углы равны;
• диагонали точкой пересечения делятся пополам;
• сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
• сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.
2. Противоположные стороны попарно равны.
3. Противоположные углы попарно равны.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

• ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
• если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
• если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
• если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признаки трапеции

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если:

1. Один из его углов прямой.
2. Его диагонали равны.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

Признаки ромба

1. Параллелограмм является ромбом, если:
2. Две его смежные стороны равны.
3. Его диагонали перпендикулярны.
4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

• все углы квадрата прямые;
• диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Основные формулы

1. Произвольный выпуклый четырехугольник
   d1, d2 — диагонали; — угол между ними; S — площадь.
2. Параллелограмм
   a и b — смежные стороны; — угол между ними; ha — высота, проведенная к стороне a.
3. Трапеция
   a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия.
   
4. Прямоугольник
5. Ромб
   
6. Квадрат
   d — диагональ.

Повторение курса 7 классаЧетырёхугольникиПараллелограмм и его свойстваТрапецияПлощадиТеорема ПифагораПодобные треугольники. Признаки подобия треугольниковПропорциональные отрезки в прямоугольных треугольникахСоотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольникаОкружность. Касательная к окружностиЦентральные и вписанные углыЧетыре замечательные точки треугольникаВписанная и описанная окружности

«Трапеция».

После изучения этой темы:

• Вы узнаете, что такое трапеция;

• Узнаете виды трапеции;

• Узнаете некоторые свойства трапеции;

• Научитесь решать задачи.

Перед началом обучения обязательно распечатайте материал для работы (нажмите на изображение ниже):

 

Дополнительные материалы: «Трапеция», «Осевая и центральная симметрии»* (презентации)

Обратите внимание! В левом столбце печатного материала находятся: В правом столбце печатного материала находятся: графические иллюстрации к теоретическому материалу. Материал содержит три разобранные задачи и девять задач предлагаются для самостоятельного решения.
Печатный материал содержит две страницы, которые выглядят так:
Задача 1. По данным рисунка найдите углы трапеции TPRS.
		Общий вид решения задачи:
Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.	С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.
Под условием и рисунком запишем слово «Решение:«
В первом действии используем условие, что TPRS — трапеция, PR, TS — основания:
Во втором действии используем свойство односторонних углов при основаниях трапеции и найдём угол Р: ,
В третьем действии используем свойство односторонних углов при основаниях трапеции и найдём угол S: ,
Осталось написать ответ к задаче:

Задача 2. По данным рисунка найдите углы трапеции NEFM.
		Общий вид решения задачи:
Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.	С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.
Под условием и рисунком запишем слово «Решение:«
В первом действии используем условие, что NEFM — равнобедренная трапеция, NM, EF — основания:
Во втором действии докажем равенство треугольников NEF и MEF, чтобы доказать равенство углов NFE и MEF как соответственных углов в равных треугольников, из чего сделаем вывод, что треугольник OEF — равнобедренный:
В третьем действии из равенства вертикальных углов NOM и EOF и того, что треугольник OEF — равнобедренный, найдём углы NFE и MFE при его основании: ,
В четвёртом действии,пользуясь равенством углов при одном основании трапеции, найдём углы E и F. Предварительно вычислим угол Е, как сумму углов NEM и MEF:
В пятом действии, пользуясь равенством углов при одном основании трапеции, найдём углы M и N. Предварительно вычислим угол N, пользуясь свойством односторонних углов N и Е при основаниях трапеции: . Осталось написать ответ к задаче:

Задача 3. ABCD — прямоугольная трапеция. Как найти угол в трапеции Известно, что диагональ АС перпендикулярна диагонали BD, угол CAD равен 60 градусам, сторона ВС равна 4 см. Найти AD
		Общий вид решения задачи:
Слева напишем краткое условие задачи, используя условные обозначения.	С правой стороны от краткого условия разместим рисунок, на котором отмечены данные задачи.
Под условием и рисунком запишем слово «Решение:«
В первом действии используем условие, что ABCD — прямоугольная трапеция, ВС, AD — основания:
Во втором действии найдём угол ВАС, который является частью угла А — прямого (равного 90 градусам):
В третьем действии рассмотрим прямоугольный треугольник АВС и воспользуемся свойством катета, лежащего против угла 30 градусов, найдём гипотенузу АС: ,
В четвёртом действиииз условия, что АС перпендикулярна BD сделаем вывод, что треугольник ВОС — прямоугольный, и, если углы ВСО и CAD равны 60 градусам, как накрест лежащие при параллельных основаниях трапеции и секущей АС, то угол ОВС равен 30 градусам. Тогда по свойству катета, лежащего против угла в 30 градусов, найдём отрезок ОС:
В пятом действии найдём отрезок АО, как разность АС и ОС:
В шестом действии из прямоугольного треугольника AOD и того что угол ODA равен 30 градусам найдем гипотенузу AD, пользуясь свойством катета, лежащего против угла 30 градусов: Осталось написать ответ к задаче:

ВЕРНУТЬСЯ НАВЕРХ ВЕРНУТЬСЯ К ЗАДАЧЕ 1  ВЕРНУТЬСЯ К ЗАДАЧЕ 2 ВЕРНУТЬСЯ К ЗАДАЧЕ 3ПЕЧАТЬ МАТЕРИАЛА

©Материал подготовлен учителем математики Максимовской Мариной Алексеевной