Центр тяжести тела

Как найти центр тяжести

Автор: Возьмем тело произвольной формы. Можно ли подвесить его на нити так, чтобы оно после подвешивания сохранило свое положение (т.е. не стало поворачиваться) при любой начальной ориентации (рис. 27.1)?

Рис. 27.1

Иными словами, существует ли такая точка, относительно которой сумма моментов сил тяжести, действующих на различные части тела, была бы равна нулю при любой ориентации тела в пространстве?

Читатель: По-моему, да. Такая точка называется центром тяжести тела.

Автор: Верно! Давайте докажем, что если считать поле сил тяжести однородным, то центр тяжести тела совпадает с его центром масс.

Доказательство. Для простоты рассмотрим тело в виде плоской пластины произвольной формы произвольным образом ориентированное в пространстве (рис. 27.2). Возьмем систему координат х0у с началом в центре масс – точке С, тогда хС = 0, уС = 0.

Представим это тело в виде совокупности большого числа точечных масс mi, положение каждой из которых задается радиусом-вектором .

По определению центра масс , а координата хС = .

Так как в принятой нами системе координат хС = 0, то . Умножим это равенство на g и получим

. (1)

Как видно из рис. 27.2, |xi| – это плечо силы . Причем если хi > 0, то момент силы Mi > 0, а если хj < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого xi момент силы будет равен Mi = migxi. Тогда равенство (1) эквивалентно равенству , где Mi – момент силы тяжести . А это значит, что при произвольной ориентации тела сумма моментов сил тяжести, действующих на тело, будет равна нулю относительно его центра масс.

Чтобы рассматриваемое нами тело находилось в равновесии, к нему необходимо приложить в точке С силу Т = mg, направленную вертикально вверх. Момент этой силы относительно точки С равен нулю.

Поскольку наши рассуждения никак не зависели от того, как именно ориентировано тело в пространстве, мы доказали, что центр тяжести совпадает с центром масс, что и требовалось доказать.

Задача 27.1. Найти центр тяжести невесомого стержня длины l, на концах которого укреплены две точечные массы т1 и т2.

т1т2l Решение. Будем искать не центр тяжести, а центр масс (так как это одно и то же). Введем ось х (рис. 27.3). Рис. 27.3
хС = ?
 

Тогда .

Ответ: на расстоянии от массы т1.

СТОП! Решите самостоятельно: В1–В3.

Утверждение 1. Если однородное плоское тело имеет ось симметрии, центр тяжести находится на этой оси.

Действительно, для всякой точечной массы mi, расположенной справа от оси симметрии, найдется такая же точечная масса , расположенная симметрично относительно первой (рис. 27.4). При этом сумма моментов сил .

Поскольку все тело можно представить разбитым на подобные пары точек, то суммарный момент сил тяжести относительно любой точки, лежащей на оси симметрии равен нулю, а значит, на этой оси находится и центр тяжести тела. Отсюда следует важный вывод: если тело имеет несколько осей симметрии, то центр тяжести лежит на пересечении этих осей (рис. 27.5).

Рис. 27.5

Утверждение 2. Если два тела массами т1 и т2 соединены в одно, то центр тяжести такого тела будет лежать на отрезке прямой, соединяющей центры тяжести первого и второго тела (рис. 27.6).

Рис. 27.6 Рис. 27.7

Доказательство. Расположим составное тело так, чтобы отрезок, соединяющий центры тяжести тел был вертикальным. Тогда сумма моментов сил тяжести первого тела относительно точки С1 равна нулю, и сумма моментов сил тяжести второго тела относительно точки С2 равна нулю (рис. 27.7).

Заметим, что плечо силы тяжести любой точечной массы тi одно и то же относительно любой точки, лежащей на отрезке С1С2, а значит, и момент силы тяжести относительно любой точки, лежащей на отрезке С1С2, один и тот же. Следовательно, сил тяжести всего тела равен нулю относительно любой точки отрезка С1С2. Таким образом, центр тяжести составного тела лежит на отрезке С1С2.

Из утверждения 2 следует важный практический вывод, который четко сформулирован в виде инструкции.

Инструкция,

как искать центр тяжести твердого тела, если его можно разбить

на части, положения центров тяжести каждой из которых известно

1. Следует заменить каждую часть массой, расположенной в центре тяжести этой части.

2. Найти центр масс (а это то же самое, что и центр тяжести) полученной системы точечных масс, выбрав удобную систему координат х0у, по формулам:

, .

В самом деле, расположим составное тело так, чтобы отрезок С1С2 был горизонтальным, и подвесим его на нитях в точках С1 и С2 (рис. 27.8,а). Ясно, что тело будет находиться в равновесии. И это равновесие не нарушится, если мы заменим каждое тело точечными массами т1 и т2 (рис. 27.8,б).

Рис. 27.8

СТОП! Решите самостоятельно: С3.

Задача 27.2. В двух вершинах равностороннего треугольника помещены шарики массы т каждый. В третьей вершине помещен шарик массы 2т (рис. 27.9,а). Сторона треугольника а. Определить центр тяжести этой системы.

т 2та Рис. 27.9
хС = ? уС = ?
 

Решение.

§ 25.3. Как найти центр тяжести тела?

Введем систему координат х0у (рис. 27.9,б). Тогда

,

.

Ответ: хС = а/2; ; центр тяжести лежит на половине высоты АD.

СТОП! Решите самостоятельно: В4.

Задача 27.3. В плоской круглой однородной пластине радиуса R сделано круглое отверстие радиуса R/2 так, что центр этого отверстия находится на расстоянии R/2 от центра пластины (рис. 27.10,а). Найти положение центра масс пластины с отверстием.

RR/2
xC = ?
    Рис. 27.10  

Решение. Так как пластина с отверстием имеет ось симметрии АВ, то ясно, что центр масс лежит на этой оси.

Представим нашу пластину в виде двух тел: пластины с двумя отверстиями радиуса R/2 и пластины радиусом R/2, вставленной в одно отверстие (рис. 27.10,б). Центр масс вставленной пластины находится в точке О2, а центр масс пластины с двумя отверстиями – в точке О.

Найдем площади каждой пластины:

площадь малой пластины ;

площадь пластины с двумя отверстиями

или S2 = 2S1.

Значит, если масса малой пластины т, то площадь большой пластины 2т.

Заменим пластины точечными массами т и 2т, расположенными в точках О2 и О (рис. 27.11) и найдем их центр масс:

.

Итак, центр масс лежит на расстоянии R/3 от точки О2 или на расстоянии R/2 – R/3 = R/6 от точки О.

Ответ: на расстоянии R/6 от центра большого круга.

СТОП! Решите самостоятельно: В5, С1, С4, С5.

Дата добавления: 2016-04-11; просмотров: 1537;

Определение координат центра тяжести плоских фигур

Положения центров тяжести простых геометрических фигур мо­гут быть рассчитаны по известным формулам (рис. 8.3: а) — круг; б) — квадрат, прямоугольник; в) — треугольник; г) — полукруг).

 
 

Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.

Центр тяжести стержня находится на середине высоты. При решении задач используются следующие методы:

1. метод симметрии: центр тяжести симметричных фигур нахо­дится на оси симметрии;

2. метод разделения: сложные сечения разделяем на несколько простых частей, положение центров тяжести которых легко опреде­лить;

3. метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рас­сматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.

Примеры решения задач

Пример1. Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рис. 8.4.

Решение

Разбиваем фигуру на три части:

Аналогично определяется уС = 4,5 см.

Пример 2. Найти положение центра тяжести симметричной стержневой фермы ADBE (рис. 116), размеры которой таковы: АВ = 6м, DE = 3 м и EF = 1 м.

Решение

Так как ферма симметричная, то ее центр тяжести лежит на оси симметрии DF. При выбранной (рис. 116) системе коор­динатных осей абсцисса центра тяжести фермы

Неизвестной, следовательно, является лишь ордината уС центра тя­жести фермы. Для ее определения разбиваем ферму на отдельные части (стержни). Длины их определяются из соответствующих треугольников.

Из AEF имеем

Из ADF имеем

Центр тяжести каждого стержня лежит в его середине, координаты этих центров легко определяются из чертежа (рис. 116).

Найденные длины и ординаты центров тяжести отдельных частей фермы заносим в таблицу и по формуле

определяем ординату у с центра тяжести данной плоской фермы.

Следовательно, центр тяжести С всей фермы лежит на оси DF симметрии фермы на расстоянии 1,59 м от точки F.

Пример 3. Определить координаты центра тяжести составного сечения. Сечение состоит из листа и прокатных профилей (рис. 8.5).

Примечание. Часто рамы сваривают из разных профилей, создавая необходимую конструкцию. Таким образом, уменьшается расход металла и образуется конструкция высокой прочности.

Для стандартных прокатных профилей собственные геометри­ческие характеристики известны. Они приводятся в соответствую­щих стандартах.

Решение

1. Обозначим фигуры номерами и выпишем из таблиц необхо­димые данные:

1 — швеллер № 10 (ГОСТ 8240-89); высота h = 100 мм; ширина полки b = 46 мм; площадь сечения А1 = 10,9 см2;

2 — двутавр № 16 (ГОСТ 8239-89); высота 160 мм; ширина полки 81 мм; площадь сечения А2 — 20,2 см2;

3 — лист 5×100; толщина 5 мм; ширина 100мм; площадь сечения A3 = 0,5 • 10 = 5 см2.

2. Координаты центров тяжести каждой фигуры можно опреде­лить по чертежу.

Составное сечение симметрично, поэтому центр тяжести нахо­дится на оси симметрии и координата хС = 0.

3. Определение центра тяжести составного сечения:

Пример 4. Определить координаты центра тяжести сечения, по­казанного на рис. 8, а. Сечение состоит из двух уголков 56×4 и швеллера № 18. Выполнить проверку правильности определения положения центра тяжести. Указать его положение на сечении.

Решение

1. Разобьем сечение на профили проката: два уголка 56 х 4 и швеллер № 18. Обозначим их 1, 2, 3 (см. рис. 8, а).

2. Укажем центры тяжести каждого профиля, используя табл. 1 и 4 прил. I, и обозначим их С1, С2, С3.

3. Выберем систему координатных осей. Ось у совместим с осью симметрии, а ось х проведем через центры тяжести уголков.

4. Определим координаты центра тяжести всего сечения. Так как ось у совпадает с осью симметрии, то она проходит через центр тяжести сечения, поэтому хс = 0. Координату ус опреде­лим по формуле

Пользуясь таблицами приложения, определим площади каждого профиля и координаты центров тяжести:

Координаты у1 и у2равны нулю, так как ось х проходит через центры тяжести уголков. Подставим полученные значения в формулу для определения ус:

5. Укажем центр тяжести сечения на рис. 8, а и обозначим его буквой С. Покажем расстояние уС = 2,43 см от оси х до точ­ки С.

Поскольку уголки симметрично расположены, имеют одина­ковую площадь и координаты, то А1 = А2, у1 = у2. Поэтому фор­мула для определения уС может быть упрощена:

6. Выполним проверку. Для этого ось х проведем по нижнему краю полки уголка (рис. 8, б). Ось у оставим, как в первом ре­шении.

Центр тяжести и центр масс тела

Формулы для определения хС и уС не изменяются:

Площади профилей останутся такими же, а координаты центров тяжестей уголков и швеллера изменятся. Выпишем их:

Находим координату центра тяжести:

По найденным координатам хс и ус наносим на рисунок точ­ку С. Найденное двумя способами положение центра тяжести находится в одной и той же точке. Проверим это. Разница между координатами ус, найденными при первом и втором решении, составляет: 6,51 — 2,43 = 4,08 см.

Это равно расстоянию между осями х при первом и втором решении: 5,6 — 1,52 = 4,08 см.

Ответ: ус = 2,43 см, если ось х проходит через центры тяже­сти уголков, или ус = 6,51 см, если ось х проходит по нижнему краю полки уголка.

Пример 5. Определить координаты центра тяжести сечения, изображенного на рис. 9, а. Сечение состоит из двутавра № 24 и швеллера №.24а. Показать положение центра тяжести на сече­нии.

Решение

1. Разобьем сечение на профили проката: двутавр и швеллер. Обозначим их цифрами 1 и 2.

3. Укажем центры тяжести каждого профиля С1 и С2, ис­пользуя таблицы приложений.

4. Выберем систему осей координат. Ось х совместим с осью симметрии, а ось у проведем через центр тяжести двутавра.

5. Определим координаты центра тяжести сечения. Координа­та ус = 0, так как ось х совпадает с осью симметрии. Координату хс определим по формуле

По табл. 3 и 4 прил. I и схеме сечения определим

Подставим числовые значения в формулу и получим

5. Нанесем точку С (центр тяжести сечения) по найденным значениям хс и ус (см. рис. 9, а).

Проверку решения необходимо выполнить самостоятельно при положении осей, как показано на рис. 9, б. В результате ре­шения получим хс = 11,86 см. Разница между значениями хс при первом и втором решении равна 11,86 — 6,11 = 5,75 см, что равно расстоянию между осями у при тех же решениях bдв/2 = 5,75 см.

Ответ: хс = 6,11 см, если ось у проходит через центр тяжести двутавра; хс = 11,86 см, если ось у проходит через левые крайние точки двутавра.

Пример 6. Железнодорожный кран опирается на рельсы, расстояние меж­ду которыми АВ = 1,5м (рис. 1.102). Сила тяжести тележки крана Gr = 30 кН, центр тяжести тележки находится в точке С, лежащей на линии KL пересечения плоскости симметрии тележки с плоскостью рисунка. Сила тяжести лебедки крана Qл = 10 кН приложена в точке D. Сила тяжести противовеса G„=20 кН приложена в точке Е. Сила тяжести стрелы Gc = 5 кН приложена в точке Н. Вылет крана относительно линии KL равен 2 м. Определить коэффициент устойчивости крана в ненагруженном состоянии и какой груз F можно поднять этим краном при условии, что коэффициент устойчивости должен быть не менее двух.

Решение

1. В ненагруженном состоянии у крана возникает опасность опро­кидывания при повороте вокруг рельса А. Следовательно, относительно точки А момент устойчивости

2. Опрокидывающий момент относительно точки А создается силой тяжести противове­са, т. е.

3. Отсюда коэффициент устойчивости крана в ненагруженном состоянии

4. При нагрузке стрелы крана грузом F возникает опасность опрокидывания крана с поворотом около рельса В. Следовательно, от­носительно точки В момент устойчивости

5. Опрокидывающий момент относитель­но рельса В

6. По условию задачи эксплуатация крана разрешается при коэффициенте устойчивости kB 2 , т. е.

Отсюда

Контрольные вопросы и задания

1. Почему силы притяжения к Земле, действующие на точки тела, можно принять за систему параллельных сил?

2. Запишите формулы для определения положения центра тя­жести неоднородных и однородных тел, формулы для определения положения центра тяжести плоских сечений.

3. Повторите формулы для определения положения центра тя­жести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольни­ка, трапеции и половины круга.

4. Что называют статическим моментом площади?

5. Вычислите статический момент данной фигуры относительно оси Ox. h = 30 см; b = 120 см; с = 10 см (рис. 8.6).

6. Определите координаты центра тяжести заштрихованной фи­гуры (рис. 8.7). Размеры даны в мм.

7. Определите координату у фигуры 1 составного сечения (рис. 8.8).

При решении воспользоваться справочными данными таблиц ГОСТ «Сталь горячекатанная» (см. Приложение 1).



Как найти центр тяжести

Автор: Возьмем тело произвольной формы. Можно ли подвесить его на нити так, чтобы оно после подвешивания сохранило свое положение (т.е. не стало поворачиваться) при любой начальной ориентации (рис. 27.1)?

Рис. 27.1

Иными словами, существует ли такая точка, относительно которой сумма моментов сил тяжести, действующих на различные части тела, была бы равна нулю при любой ориентации тела в пространстве?

Читатель: По-моему, да. Такая точка называется центром тяжести тела.

Автор: Верно! Давайте докажем, что если считать поле сил тяжести однородным, то центр тяжести тела совпадает с его центром масс.

Доказательство. Для простоты рассмотрим тело в виде плоской пластины произвольной формы произвольным образом ориентированное в пространстве (рис. 27.2). Возьмем систему координат х0у с началом в центре масс – точке С, тогда хС = 0, уС = 0.

Представим это тело в виде совокупности большого числа точечных масс mi, положение каждой из которых задается радиусом-вектором .

По определению центра масс , а координата хС = .

Так как в принятой нами системе координат хС = 0, то . Умножим это равенство на g и получим

. (1)

Как видно из рис. 27.2, |xi| – это плечо силы . Причем если хi > 0, то момент силы Mi > 0, а если хj < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого xi момент силы будет равен Mi = migxi. Тогда равенство (1) эквивалентно равенству , где Mi – момент силы тяжести . А это значит, что при произвольной ориентации тела сумма моментов сил тяжести, действующих на тело, будет равна нулю относительно его центра масс.

Чтобы рассматриваемое нами тело находилось в равновесии, к нему необходимо приложить в точке С силу Т = mg, направленную вертикально вверх.

Как найти центр тяжести

Момент этой силы относительно точки С равен нулю.

Поскольку наши рассуждения никак не зависели от того, как именно ориентировано тело в пространстве, мы доказали, что центр тяжести совпадает с центром масс, что и требовалось доказать.

Задача 27.1. Найти центр тяжести невесомого стержня длины l, на концах которого укреплены две точечные массы т1 и т2.

т1т2l Решение. Будем искать не центр тяжести, а центр масс (так как это одно и то же). Введем ось х (рис. 27.3). Рис. 27.3
хС = ?
 

Тогда .

Ответ: на расстоянии от массы т1.

СТОП! Решите самостоятельно: В1–В3.

Утверждение 1. Если однородное плоское тело имеет ось симметрии, центр тяжести находится на этой оси.

Действительно, для всякой точечной массы mi, расположенной справа от оси симметрии, найдется такая же точечная масса , расположенная симметрично относительно первой (рис. 27.4). При этом сумма моментов сил .

Поскольку все тело можно представить разбитым на подобные пары точек, то суммарный момент сил тяжести относительно любой точки, лежащей на оси симметрии равен нулю, а значит, на этой оси находится и центр тяжести тела. Отсюда следует важный вывод: если тело имеет несколько осей симметрии, то центр тяжести лежит на пересечении этих осей (рис. 27.5).

Рис. 27.5

Утверждение 2. Если два тела массами т1 и т2 соединены в одно, то центр тяжести такого тела будет лежать на отрезке прямой, соединяющей центры тяжести первого и второго тела (рис. 27.6).

Рис. 27.6 Рис. 27.7

Доказательство. Расположим составное тело так, чтобы отрезок, соединяющий центры тяжести тел был вертикальным. Тогда сумма моментов сил тяжести первого тела относительно точки С1 равна нулю, и сумма моментов сил тяжести второго тела относительно точки С2 равна нулю (рис. 27.7).

Заметим, что плечо силы тяжести любой точечной массы тi одно и то же относительно любой точки, лежащей на отрезке С1С2, а значит, и момент силы тяжести относительно любой точки, лежащей на отрезке С1С2, один и тот же. Следовательно, сил тяжести всего тела равен нулю относительно любой точки отрезка С1С2. Таким образом, центр тяжести составного тела лежит на отрезке С1С2.

Из утверждения 2 следует важный практический вывод, который четко сформулирован в виде инструкции.

Инструкция,

как искать центр тяжести твердого тела, если его можно разбить

на части, положения центров тяжести каждой из которых известно

1. Следует заменить каждую часть массой, расположенной в центре тяжести этой части.

2. Найти центр масс (а это то же самое, что и центр тяжести) полученной системы точечных масс, выбрав удобную систему координат х0у, по формулам:

, .

В самом деле, расположим составное тело так, чтобы отрезок С1С2 был горизонтальным, и подвесим его на нитях в точках С1 и С2 (рис. 27.8,а). Ясно, что тело будет находиться в равновесии. И это равновесие не нарушится, если мы заменим каждое тело точечными массами т1 и т2 (рис. 27.8,б).

Рис. 27.8

СТОП! Решите самостоятельно: С3.

Задача 27.2. В двух вершинах равностороннего треугольника помещены шарики массы т каждый. В третьей вершине помещен шарик массы 2т (рис. 27.9,а). Сторона треугольника а. Определить центр тяжести этой системы.

т 2та Рис. 27.9
хС = ? уС = ?
 

Решение. Введем систему координат х0у (рис. 27.9,б). Тогда

,

.

Ответ: хС = а/2; ; центр тяжести лежит на половине высоты АD.

СТОП! Решите самостоятельно: В4.

Задача 27.3. В плоской круглой однородной пластине радиуса R сделано круглое отверстие радиуса R/2 так, что центр этого отверстия находится на расстоянии R/2 от центра пластины (рис. 27.10,а). Найти положение центра масс пластины с отверстием.

RR/2
xC = ?
    Рис. 27.10  

Решение. Так как пластина с отверстием имеет ось симметрии АВ, то ясно, что центр масс лежит на этой оси.

Представим нашу пластину в виде двух тел: пластины с двумя отверстиями радиуса R/2 и пластины радиусом R/2, вставленной в одно отверстие (рис. 27.10,б). Центр масс вставленной пластины находится в точке О2, а центр масс пластины с двумя отверстиями – в точке О.

Найдем площади каждой пластины:

площадь малой пластины ;

площадь пластины с двумя отверстиями

или S2 = 2S1.

Значит, если масса малой пластины т, то площадь большой пластины 2т.

Заменим пластины точечными массами т и 2т, расположенными в точках О2 и О (рис. 27.11) и найдем их центр масс:

.

Итак, центр масс лежит на расстоянии R/3 от точки О2 или на расстоянии R/2 – R/3 = R/6 от точки О.

Ответ: на расстоянии R/6 от центра большого круга.

СТОП! Решите самостоятельно: В5, С1, С4, С5.

Дата добавления: 2016-04-11; просмотров: 1537;

§ 81. Определение центра тяжести тел

Определение центра тяжести произвольного тела путем последовательного сложения сил, действующих на отдельные его части,— трудная задача; она облегчается только для тел сравнительно простой формы.

Пусть тело состоит только из двух грузов массы  и , соединенных стрежнем (рис. 125). Если масса стержня мала по сравнению с массами  и , то ею можно пренебречь. На каждую из масс действуют силы тяжести, равные соответственно  и               ; обе они  направлены вертикально вниз, т. е. параллельно друг другу. Как мы знаем, равнодействующая двух параллельных сил приложена в точке , которая определяется из условия

 или .

Рис. 125. Определение центра тяжести тела, состоящего из двух грузов

Следовательно, центр тяжести делит расстояние между двумя грузами в отношении, обратном отношению их масс.

Лабораторная работа № 9. Нахождение центра тяжести плоской пластины

Если это тело подвесить в точке , оно останется в равновесии.

Так как две равные массы имеют общий центр тяжести в точке, делящей пополам расстояние между этими массами, то сразу ясно, что, например, центр тяжести однородного стержня лежит в середине стержня (рис. 126).

Поскольку любой диаметр однородного круглого диска делит его на две совершенно одинаковые симметричные части (рис. 127), то центр тяжести должен лежать на каждом диаметре диска, т. е. в точке пересечения диаметров — в геометрическом центре диска . Рассуждая сходным образом, можно найти, что центр тяжести однородного шара лежит в его геометрическом центре, центр тяжести однородного прямоугольного параллелепипеда лежит на пересечении его диагоналей и т. д. Центр тяжести обруча или кольца лежит в его центре. Последний пример показывает, что центр тяжести тела может лежать вне тела.

Рис. 126. Центр тяжести однородного стержня лежит в его середине

Рис. 127. Центр однородного диска лежит в его геометрическом центре

Если тело имеет неправильную форму или если оно неоднородно (например, в нем есть пустоты), то расчет положения центра тяжести часто затруднителен и это положение удобнее найти посредством опыта. Пусть, например, требуется найти центр тяжести куска фанеры. Подвесим его на нити (рис. 128). Очевидно, в положении равновесия центр тяжести тела  должен лежать на продолжении нити, иначе сила тяжести будет иметь момент относительно точки подвеса, который начал бы вращать тело. Поэтому, проведя на нашем куске фанеры прямую, представляющую продолжение нити, можем утверждать, что центр тяжести лежит на этой прямой.

Действительно, подвешивая тело в разных точках и проводя вертикальные прямые, мы убедимся, что все они пересекутся в одной точке. Эта точка и есть центр тяжести тела (так как он должен лежать одновременно на всех таких прямых). Подобным образом можно определить положение центра тяжести не только плоской фигуры, но и более сложного тела. Положение центра тяжести самолета определяют, вкатывая его колесами на платформы весов. Равнодействующая сил веса, приходящихся на каждое колесо, будет направлена по вертикали, и найти линию, по которой она действует, можно по закону сложения параллельных сил.

Рис. 128. Точка  пересечения вертикальных линий, проведенных через точки подвеса  и  есть центр тяжести тела

При изменении масс отдельных частей тела или при изменении формы тела положение центра тяжести меняется. Так, центр тяжести самолета перемещается при расходовании горючего из баков, при загрузке багажа и т. п. Для наглядного опыта, иллюстрирующего перемещение центра тяжести при изменении формы тела, удобно взять два одинаковых бруска, соединенных шарниром (рис. 129). В том случае, когда бруски образуют продолжение один другого, центр тяжести лежит на оси брусков. Если бруски согнуть в шарнире, то центр тяжести оказывается вне брусков, на биссектрисе угла, который они образуют. Если на один из брусков надеть дополнительный груз, то центр тяжести переместится в сторону этого груза.

Рис. 129. а) Центр тяжести соединенных шарниром брусков, расположенных на одной прямой, лежит на оси брусков, б) Центр тяжести согнутой системы брусков лежит вне брусков

81.1. Где находится центр тяжести двух одинаковых тонких стержней, имеющих длину 12 см и скрепленных в виде буквы Т?

81.2. Докажите, что центр тяжести однородной треугольной пластины лежит на пересечении медиан.

Рис. 130. К упражнению 81.3

81.3. Однородная доска массы 60 кг лежит на двух опорах, как показано на рис. 130. Определите силы, действующие на опоры.

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести. Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести всех элементарных частиц тела. Центр тяжести есть геометрическая точка, которая может лежать вне тела (например, кольцо, цилиндр с отверстием). Координаты центра тяжести находят по формулам:

хс = (Gixi)/ Gi; yс = (Giyi)/ Gi

где хс , yс — координаты частицы; Gi — сила тяжести всего тела

в случае однородных тел по таким же формулам можно определить координаты центра тяжести объемов, площадей и линий.

Центр тяжести определяют методами: метод симметрии, метод разбиения, метод отрицательных масс, метод взвешивания

Метод симметрии опирается на положения:

1.Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости;

2.Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела лежит на этой оси;

3.Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести тела лежит в точке их пересечения;

4.Центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

Метод разбиения заключается в том, что тело разбивают на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тяжести которых известны, после чего применяют известные формулы: хс = (Gixi)/ Gi; yс = (Giyi)/ Gi

Метод отрицательных масс. Этот метод заключается в том, что тело, имеющее свободные полости, полагают сплошным, а массу свободных полостей считают отрицательной. Вид формул для определения координат центра тяжести при этом не меняется.

Метод подвешивания. Если тело в виде пластины любой формы подвесить на нити в любой точке (например А), то при равновесии центр тяжести тела обязательно займет положение по вертикали, проходящей через точку А, так как при таком положении центра тяжести сила тяжести и реакция нити уравновешивают друг друга. С помощью отвеса отметим на теле линию А-А1, на которой расположен искомый центр тяжести. Подвесив затем тело на нити в другой точке, например В, получим линию В-В1 , которая пересечением с линией А-А1 фиксирует положение центра тяжести – точку С.

Положения центра тяжести некоторых фигур:

Совет 1: Как найти центр тяжести тела

Прямоугольник – центр тяжести лежит в точке пересечения его диагоналей.

2. Треугольник – центр тяжести лежит в точке пересечения его медиан, на расстоянии одной трети высоты от каждого основания.

3. Дуга окружности: Xc = (Rsin/)

4. Круговой сектор: Xc = (2Rsin /) 3

Порядок определение положения центра тяжести плоской фигуры:

1.Разбивают сечение на простые фигуры.

2.Указывают центры тяжести каждого профиля (фигуры) и обо­значают их С1 С2, …, Сп,

3.Выбирают систему координатных осей. В задачах для само­стоятельной работы все сечения имеют одну ось симметрии, по этому рекомендуется одну из координатных осей совмещать с ней. Вторую ось координат направляют перпендикулярно первой так, чтобы она пересекла центры тяжести одной или нескольких фигур. При этом начало координат может совпадать (или не сов падать) с центром тяжести одной из фигур. Вторую ось можно направить так, чтобы она прошла через нижнюю (крайнюю) точ­ку сечения. В первом случае вычисления будут более простыми.

4.Составляют формулы для определения координат центра тяжести сечения:

A1x1 + A2x2 +A3x3 + … + Anxn

Xc = ———————————- (1)

A1+A2+A3+ … + An

A1y1 + A2y2 +A3y3 + … + Anyn

Yc = ———————————- (2)

A1+A2+A3+ … + An

Где А1,А2,А3 – площади профилей; х1,х2,х3, …у1,у2,у3 — координаты их центров тяжести относительно выбранных осей координат.

Число слагаемых в числителе и знаменателе формул зависит от числа профилей, из которых состоит сечение. Полученные величины подставляют в формулу и находят хс и ус.

Следует помнить, что если ось х совмещена с осью симмет­рии, то координата ус= 0, а если ось усовмещена с осью сим­метрии, то хс = 0.

5. Указывают положение центра тяжести на рисунке,придер­живаясь определенного масштаба, и показывают расстояние от центра тяжести до координатных осей.

6. Выполняют проверку правильности решения,для чего можно изменить положение координатных осей (или одной оси) и найти координаты центра тяжести относительно новых осей.

Поло­жение центра тяжести не зависит от того, как выбрана система координатных осей.

ПРИМЕР: Определить положение центра тяжести сечения, состоящего из простых геометрических фигур.

РЕШЕНИЕ:

1.Разобьем сечение на простые фигуры: прямоугольник (1), прямоугоник (2), треугольники -3 и 4, круг -5.

2.Укажем центры тяжести полученных простых фигур – С1, С2, С3, С4, С5.

3.Выберем систему координат. Ось Х проведем через центр тяжести С2 прямоугольника 2 (в виду симметричности фигуры, ее центр тяжести лежит на оси симметрии, т.е. Хс =0), а ось У совместим с осью симметрии сечения (она пройдет через центры тяжести

круга 5, прямоугольника 1).

4.Определим площади отдельных фигур и их центры тяжести:

· Прямоугольник 1 А1 = 40*8 = 320 см2

Х1 = 0; У1= (50-8)/2 + 8/2 =25 см

· Прямоугольник 2 А2 = 9(50-8) = 378 см2

Х2 =0; У2=0

· Треугольник 3 ,4 А3 = А4= 7,5(50-8)/2 = 157,5 см2

У3=У4 = (50-8)/2 – (50-8)/3 = 7 см

· Круг -5 А5 = d2/4 = 3,14*6*6/4= 28,3 см2

У5 = (50\2) – 6\2 = 18 см; Х5 = 0

5. Определяем центр тяжести фигуры:

A1y1 + A2y2 + 2A3y3 — A5y5

Yc = ———————————- =

A1+A2+ 2A3- A5

(320*25+378*0 +2*157,5*7 – 28.3*180)

(320+378+2*157,5-28,7) =

= 9,84 см; Хс = 0

ЗАДАНИЕ: в соответствии со своим вариантом провести расчет координат центра тяжести плоской фигуры.

Рекомендуемые страницы:

Определение координат центра тяжести плоских фигур

Положения центров тяжести простых геометрических фигур мо­гут быть рассчитаны по известным формулам (рис. 8.3: а) — круг; б) — квадрат, прямоугольник; в) — треугольник; г) — полукруг).

 
 

Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.

Центр тяжести стержня находится на середине высоты. При решении задач используются следующие методы:

1. метод симметрии: центр тяжести симметричных фигур нахо­дится на оси симметрии;

2. метод разделения: сложные сечения разделяем на несколько простых частей, положение центров тяжести которых легко опреде­лить;

3. метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рас­сматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.

Примеры решения задач

Пример1. Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рис. 8.4.

Решение

Разбиваем фигуру на три части:

Аналогично определяется уС = 4,5 см.

Пример 2. Найти положение центра тяжести симметричной стержневой фермы ADBE (рис. 116), размеры которой таковы: АВ = 6м, DE = 3 м и EF = 1 м.

Решение

Так как ферма симметричная, то ее центр тяжести лежит на оси симметрии DF. При выбранной (рис. 116) системе коор­динатных осей абсцисса центра тяжести фермы

Неизвестной, следовательно, является лишь ордината уС центра тя­жести фермы. Для ее определения разбиваем ферму на отдельные части (стержни). Длины их определяются из соответствующих треугольников.

Из AEF имеем

Из ADF имеем

Центр тяжести каждого стержня лежит в его середине, координаты этих центров легко определяются из чертежа (рис. 116).

Найденные длины и ординаты центров тяжести отдельных частей фермы заносим в таблицу и по формуле

определяем ординату у с центра тяжести данной плоской фермы.

Следовательно, центр тяжести С всей фермы лежит на оси DF симметрии фермы на расстоянии 1,59 м от точки F.

Пример 3. Определить координаты центра тяжести составного сечения. Сечение состоит из листа и прокатных профилей (рис. 8.5).

Примечание. Часто рамы сваривают из разных профилей, создавая необходимую конструкцию. Таким образом, уменьшается расход металла и образуется конструкция высокой прочности.

Для стандартных прокатных профилей собственные геометри­ческие характеристики известны. Они приводятся в соответствую­щих стандартах.

Решение

1. Обозначим фигуры номерами и выпишем из таблиц необхо­димые данные:

1 — швеллер № 10 (ГОСТ 8240-89); высота h = 100 мм; ширина полки b = 46 мм; площадь сечения А1 = 10,9 см2;

2 — двутавр № 16 (ГОСТ 8239-89); высота 160 мм; ширина полки 81 мм; площадь сечения А2 — 20,2 см2;

3 — лист 5×100; толщина 5 мм; ширина 100мм; площадь сечения A3 = 0,5 • 10 = 5 см2.

2. Координаты центров тяжести каждой фигуры можно опреде­лить по чертежу.

Составное сечение симметрично, поэтому центр тяжести нахо­дится на оси симметрии и координата хС = 0.

3. Определение центра тяжести составного сечения:

Пример 4. Определить координаты центра тяжести сечения, по­казанного на рис. 8, а. Сечение состоит из двух уголков 56×4 и швеллера № 18. Выполнить проверку правильности определения положения центра тяжести. Указать его положение на сечении.

Решение

1. Разобьем сечение на профили проката: два уголка 56 х 4 и швеллер № 18. Обозначим их 1, 2, 3 (см. рис. 8, а).

2. Укажем центры тяжести каждого профиля, используя табл. 1 и 4 прил. I, и обозначим их С1, С2, С3.

3. Выберем систему координатных осей. Ось у совместим с осью симметрии, а ось х проведем через центры тяжести уголков.

4. Определим координаты центра тяжести всего сечения. Так как ось у совпадает с осью симметрии, то она проходит через центр тяжести сечения, поэтому хс = 0. Координату ус опреде­лим по формуле

Пользуясь таблицами приложения, определим площади каждого профиля и координаты центров тяжести:

Координаты у1 и у2равны нулю, так как ось х проходит через центры тяжести уголков. Подставим полученные значения в формулу для определения ус:

5. Укажем центр тяжести сечения на рис. 8, а и обозначим его буквой С. Покажем расстояние уС = 2,43 см от оси х до точ­ки С.

Поскольку уголки симметрично расположены, имеют одина­ковую площадь и координаты, то А1 = А2, у1 = у2. Поэтому фор­мула для определения уС может быть упрощена:

6. Выполним проверку. Для этого ось х проведем по нижнему краю полки уголка (рис. 8, б). Ось у оставим, как в первом ре­шении. Формулы для определения хС и уС не изменяются:

Площади профилей останутся такими же, а координаты центров тяжестей уголков и швеллера изменятся. Выпишем их:

Находим координату центра тяжести:

По найденным координатам хс и ус наносим на рисунок точ­ку С. Найденное двумя способами положение центра тяжести находится в одной и той же точке. Проверим это. Разница между координатами ус, найденными при первом и втором решении, составляет: 6,51 — 2,43 = 4,08 см.

Это равно расстоянию между осями х при первом и втором решении: 5,6 — 1,52 = 4,08 см.

Ответ: ус = 2,43 см, если ось х проходит через центры тяже­сти уголков, или ус = 6,51 см, если ось х проходит по нижнему краю полки уголка.

Пример 5. Определить координаты центра тяжести сечения, изображенного на рис. 9, а. Сечение состоит из двутавра № 24 и швеллера №.24а. Показать положение центра тяжести на сече­нии.

Решение

1. Разобьем сечение на профили проката: двутавр и швеллер. Обозначим их цифрами 1 и 2.

3. Укажем центры тяжести каждого профиля С1 и С2, ис­пользуя таблицы приложений.

4. Выберем систему осей координат. Ось х совместим с осью симметрии, а ось у проведем через центр тяжести двутавра.

5. Определим координаты центра тяжести сечения. Координа­та ус = 0, так как ось х совпадает с осью симметрии. Координату хс определим по формуле

По табл. 3 и 4 прил.

Урок-лабораторная работа 7 класс «Определение центра тяжести»

I и схеме сечения определим

Подставим числовые значения в формулу и получим

5. Нанесем точку С (центр тяжести сечения) по найденным значениям хс и ус (см. рис. 9, а).

Проверку решения необходимо выполнить самостоятельно при положении осей, как показано на рис. 9, б. В результате ре­шения получим хс = 11,86 см. Разница между значениями хс при первом и втором решении равна 11,86 — 6,11 = 5,75 см, что равно расстоянию между осями у при тех же решениях bдв/2 = 5,75 см.

Ответ: хс = 6,11 см, если ось у проходит через центр тяжести двутавра; хс = 11,86 см, если ось у проходит через левые крайние точки двутавра.

Пример 6. Железнодорожный кран опирается на рельсы, расстояние меж­ду которыми АВ = 1,5м (рис. 1.102). Сила тяжести тележки крана Gr = 30 кН, центр тяжести тележки находится в точке С, лежащей на линии KL пересечения плоскости симметрии тележки с плоскостью рисунка. Сила тяжести лебедки крана Qл = 10 кН приложена в точке D. Сила тяжести противовеса G„=20 кН приложена в точке Е. Сила тяжести стрелы Gc = 5 кН приложена в точке Н. Вылет крана относительно линии KL равен 2 м. Определить коэффициент устойчивости крана в ненагруженном состоянии и какой груз F можно поднять этим краном при условии, что коэффициент устойчивости должен быть не менее двух.

Решение

1. В ненагруженном состоянии у крана возникает опасность опро­кидывания при повороте вокруг рельса А. Следовательно, относительно точки А момент устойчивости

2. Опрокидывающий момент относительно точки А создается силой тяжести противове­са, т. е.

3. Отсюда коэффициент устойчивости крана в ненагруженном состоянии

4. При нагрузке стрелы крана грузом F возникает опасность опрокидывания крана с поворотом около рельса В. Следовательно, от­носительно точки В момент устойчивости

5. Опрокидывающий момент относитель­но рельса В

6. По условию задачи эксплуатация крана разрешается при коэффициенте устойчивости kB 2 , т. е.

Отсюда

Контрольные вопросы и задания

1. Почему силы притяжения к Земле, действующие на точки тела, можно принять за систему параллельных сил?

2. Запишите формулы для определения положения центра тя­жести неоднородных и однородных тел, формулы для определения положения центра тяжести плоских сечений.

3. Повторите формулы для определения положения центра тя­жести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольни­ка, трапеции и половины круга.

4. Что называют статическим моментом площади?

5. Вычислите статический момент данной фигуры относительно оси Ox. h = 30 см; b = 120 см; с = 10 см (рис. 8.6).

6. Определите координаты центра тяжести заштрихованной фи­гуры (рис. 8.7). Размеры даны в мм.

7. Определите координату у фигуры 1 составного сечения (рис. 8.8).

При решении воспользоваться справочными данными таблиц ГОСТ «Сталь горячекатанная» (см. Приложение 1).



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *